.Problema para ajudar na escola: Número perfeito multiplicativo

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Problema
(A partir do 7º ano do E. F.) (Nível: Difícil)

Um número natural não nulo $n$ é dito se o produto dos seus divisores naturais for igual a $n^2$ .
Determinar os dez primeiros números naturais perfeitos multiplicativos.

Para aprender um pouco mais. . .

Duas propriedades sobre números perfeitos multiplicativos:
${\color{#800000}(1)}$ Se $n$ for da forma $n=p\cdot q$ , com $p \,$ e $\, q$ primos distintos e positivos, então $n$ será um número perfeito multiplicativo.

Com efeito, neste caso os divisores naturais de

$n$ são

$\boxed{1, \, 2, \, p, \, q, \, p \cdot q} \,$ e o produto desses divisores é

$\qquad \boxed{1\cdot p\cdot q\cdot (p \cdot q) = p^2\cdot q^2 = \left (pq\right)^2=n^2}$ .

Observamos que ser da forma

$n=p\cdot q$ , com

$p \,$ e

$\, q$ primos distintos e positivos, é o que chamamos na matemática de condição suficiente, mas não necessária, para que

$n$ seja um número perfeito multiplicativo. Isso que dizer que se

$n$ for dessa forma, então

$n$ será perfeito multiplicativo, mas nem todo perfeito multiplicativo tem essa forma (

$8$ , por exemplo, é perfeito multiplicativo, mas não tem a forma mencionada).

${\color{#800000}(2)}$ Nenhum primo é perfeito multiplicativo.

$p$ é um natural primo, seus únicos divisores naturais são

$1, \, p$ .
Note que

$1\times p=p\ne p^2$ .

Solução

Respondendo à pergunta, os dez primeiros números naturais perfeitos multiplicativos são:
$\qquad \qquad \fcolorbox{#800000}{#eee0e5}{$ 1, 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27$}$ .
É claro que poderíamos obter essa resposta encontrando, sequencialmente, para cada número todos os seus divisores, fazendo o produto dos divisores encontrados, até obtermos esses dez números, e utilizar argumentos como:

$4$ não é um número perfeito multiplicativo, já que seus divisores naturais são $\boxed{1, \, 2, \, 4} \, \,$ e $\, \, \boxed{1\times 2 \times 4=8 \ne 16=4^2}$ .
$6$ é um número perfeito multiplicativo, pois os divisores naturais de $6$ são $\, \, \boxed{1, \, 2, \, 3, \, 6} \, \,$ e $\, \, \boxed{1\times 2\times 3\times 6=36=6^2}$ .

Mas podemos utilizar as duas propriedades apresentadas acima quando possível. Será muito mais rápido; observe.

O único divisor natural de $1$ é $1 \,$ e $\, 1=\left(1\right)^2$ . Logo $1$ é perfeito multiplicativo.
$2$ é primo; logo, por ${\color{#800000}(2)}$ , $2$ não é perfeito multiplicativo.
$3$ é primo; logo, por ${\color{#800000}(2)}$ , $3$ não é perfeito multiplicativo.
$4$ não é um número perfeito multiplicativo, já que seus divisores são $\boxed{1, \, 2, \, 4} \, \,$ e $\, \, 1\times 2 \times 4=8 \ne 16=4^2$ .
$5$ é primo; logo, por ${\color{#800000}(2)}$ , $5$ não é perfeito multiplicativo.
$6=2\times 3$ , com $2$ e $3$ primos; logo, por ${\color{#800000}(1)}$ , $6$ é perfeito multiplicativo.
$7$ é primo; logo, por ${\color{#800000}(2)}$ , $7$ não é perfeito multiplicativo.
$8$ é perfeito multiplicativo; pois os divisores naturais de $8$ são $\, \, \boxed{1, \, 2, \, 4, \, 8} \, \,$ e $\, \, 1\times 2\times 4\times 8=64=8^2$ .
$9$ não é um número perfeito multiplicativo, já que seus divisores são $\boxed{1, \, 3, \, 9} \, \,$ e $\, \, 1\times 3 \times 9=27 \ne 81=9^2$ .
$10=2\times 5$ , com $2$ e $5$ primos; logo, por ${\color{#800000}(1)}$ , $10$ é perfeito multiplicativo.
$11$ é primo; logo, por ${\color{#800000}(2)}$ , $11$ não é perfeito multiplicativo.
$12$ não é um número perfeito multiplicativo, já que seus divisores são $\boxed{1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 6, \, 12} \, \,$ e $\, \, 1\times 2 \times 3\times 4 \times 6\times 12=1728 \ne 144=12^2$ .
$13$ é primo; logo, por ${\color{#800000}(2)}$ , $13$ não é perfeito multiplicativo.
$14=2\times 7$ , com $2$ e $7$ primos; logo, por ${\color{#800000}(1)}$ , $14$ é perfeito multiplicativo.
$15=3\times 5$ , com $3$ e $5$ primos; logo, por ${\color{#800000}(1)}$ , $15$ é perfeito multiplicativo.
$16$ não é um número perfeito multiplicativo, uma vez que seus divisores são $\boxed{1, \, 2, \, 4, \, 8, \, 16} \, \,$ e $\, \, 1\times 2 \times 4\times 8 \times 16=1024\ne 256=16^2$ .
$17$ é primo; logo, por ${\color{#800000}(2)}$ , $17$ não é perfeito multiplicativo.
$18$ não é um número perfeito multiplicativo, uma vez que seus divisores são $\boxed{1, \, 2, \, 3, \, 6, \, 9, \, 18} \, \,$ e $\, \, 1\times 2 \times 3\times 6 \times 9 \times 18=5832 \ne 324=18^2$ .
$19$ é primo; logo, por ${\color{#800000}(2)}$ , $19$ não é perfeito multiplicativo.
$20$ não é um número perfeito multiplicativo, uma vez que seus divisores são $\boxed{1, \, 2, \, 4, \, 5, \, 10, \, 20} \, \,$ e $\, \, 1\times 2 \times 4\times 5 \times 10 \times 20=8000\ne 400=20^2$ .
$21=3\times 7$ , com $3$ e $7$ primos; logo, por ${\color{#800000}(1)}$ , $21$ é perfeito multiplicativo.
$22=2\times 11$ , com $2$ e $11$ primos; logo, por ${\color{#800000}(1)}$ , $22$ é perfeito multiplicativo.
$23$ é primo; logo, por ${\color{#800000}(2)}$ , $23$ não é perfeito multiplicativo.
$24$ não é um número perfeito multiplicativo, uma vez que seus divisores são $\boxed{1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 6, \, 8, \, 12, \, 24} \, \,$ e $\, \, 1\times 2 \times 3\ \times 4 \times 6 \times 8\ \times 12 \times 24=331776\ne 576=24^2$ .
$25$ não é um número perfeito multiplicativo, já que seus divisores são $\boxed{1, \, 5, \, 25} \, \,$ e $\, \, 1\times 5 \times 25=125\ne 625=25^2$ .
$26=2\times 13$ , com $2$ e $13$ primos; logo, por ${\color{#800000}(1)}$ , $26$ é perfeito multiplicativo.
$27$ é perfeito multiplicativo; pois os divisores naturais de $27$ são $\, \, \boxed{1, \, 3, \, 9, \, 27} \, \,$ e $\, \, 1\times 3\times 9\times 27=729=27^2$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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