Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Temos um quadrado e quatro círculos verdes grandes cujos diâmetros medem a metade do lado do quadrado, como indicados na figura.
Como encontrar, por processos puramente geométricos (isto é, utilizando régua e compasso), os centros e os raios dos círculos restantes?
Dicas
Problemas desse tipo sugerem que imaginemos a solução pronta, para, então, pensarmos como chegamos a ela. Então, imagine onde estão os centros dos círculos sob análise – o que percebemos sobre eles, ou seja, que propriedades eles têm?
- Para o maior deles (o círculo central), não é difícil localizar o centro (feito isso, determinar o raio com o compasso também não será difícil).
- Para os menores (nos cantos), uma ideia é observar que o centro deve estar à mesma distância do lado do quadrado e do ponto de tangência com o círculo verde. Isso remete a um outro lugar geométrico precioso: a bissetriz (Mas de qual ângulo?).
- Para os intermediários (nas laterais), comece observando que o centro deve estar sobre as retas que passam pelos pontos médios dos lados do quadrado. O resto? Pense um pouquinho mais.
Solução
Para a resolução deste problema é fundamental que resgatemos, inicialmente, a construção clássica com régua e compasso de uma bissetriz. Para maiores detalhes, uma referência possível é
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bissetriz.
Mas você também pode executar essa construção com um applet, clicando no botão abaixo.
Justificativas:
- (1) Com a construção da bissetriz do ângulo de vértice [tex]O[/tex], observe que ficam definidos os triângulos [tex]\triangle OAC[/tex] (em alaranjado) e [tex]\triangle OBC[/tex] (em verde), conforme mostra a figura a seguir na qual denotamos por a e b as semirretas definidas pelos pontos ”[tex]O[/tex] e [tex]A[/tex]” e ”[tex]O[/tex] e [tex]B[/tex]”, respectivamente.
Note que os triângulos [tex]\triangle OAC[/tex] e [tex]\triangle OBC[/tex] são congruentes (iguais), já que eles têm todos lados congruentes (convença-se disso).
Da mesma forma, temos que [tex]\triangle OAD[/tex] e [tex]\triangle OBD[/tex]. Assim, temos que os ângulos [tex]\angle BOC[/tex] e [tex]\angle AOC[/tex] são também congruentes e, portanto, a reta que passa por [tex]O[/tex] e [tex]C[/tex] (e também por [tex]D[/tex]) está bem definida e é, de fato, a bissetriz de [tex]\angle AOB[/tex].
(2) Podemos também garantir que as distâncias de [tex]C[/tex] às semirretas a e b são também iguais (o mesmo poderia ser dito com relação ao ponto [tex]D[/tex] ou qualquer outro ponto sobre a bissetriz em questão). Para justificar essa afirmação, tomamos as perpendiculares às semirretas a e b que passam por [tex]C[/tex] e marcamos na figura abaixo os pontos de intersecção por, respectivamente, por [tex]M[/tex] e [tex]N[/tex].
Observe que [tex]\triangle OMC \equiv \triangle ONC[/tex] (temos dois triângulos retângulos com ângulos iguais e hipotenusas comuns) e, portanto, as distâncias [tex]CM[/tex] e [tex]CN[/tex] são iguais.
Agora, podemos resolver o problema.
[tex]\bullet[/tex] Centro e raio do círculo central:
Para determinarmos o centro deste círculo, basta tomarmos o ponto de intersecção entre as diagonais do quadrado; o raio, neste caso, é a medida do centro ao ponto de intersecção da circunferência com uma das diagonais do quadrado.
[tex]\bullet[/tex] Centro e raio dos círculos menores:
Inicialmente, observemos que o centro de qualquer um dos círculos de interesse estará à mesma distância d do lado superior do quadrado e do ponto de tangência [tex]T[/tex] entre os círculos roxo e verde. O ponto [tex]T[/tex] nada mais é do que a intersecção entre a diagonal do quadrado e as circunferências em questão.
Logo, se traçarmos a reta tangente aos círculos em [tex]T[/tex] (para isto, basta tomarmos uma perpendicular à diagonal, passando por [tex]T[/tex] – se você não sabe como construir uma perpendicular com régua e compasso, pode visitar a solução do problema “Usando régua e compasso”, que está disponível nas nossas Salas de Problemas), constatamos que o ponto desejado deve estar à mesma distância dos lados [tex]\overline{PT}[/tex] e [tex]\overline{PR}[/tex] do triângulo [tex]PRT[/tex], ou seja, para determiná-lo devemos tomar o ponto de intersecção entre a diagonal e a bissetriz de [tex]\angle TPR[/tex]. Para o raio, basta considerar a distância do centro do círculo em questão até o ponto [tex]T[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Centro e raio dos círculos intermediários:
Mais uma vez, o ideal é que observemos que propriedades terá o ponto que procuramos determinar. Naturalmente que o centro do círculo de interesse estará sobre a reta que passa pelos pontos médios dos lados paralelos do quadrado. Além disso, note que ele estará à mesma distância dos centros dos círculos verdes (que podem ser facilmente determinados pelas intersecções das retas que passam pelos quartos dos lados paralelos do quadrado).
Sendo assim, com a medida do raio dos círculos verdes, a partir do ponto [tex]E[/tex] (ponto de intersecção entre o lado do quadrado e a reta que passa pelo pontos médios de seus lados), marcamos o ponto [tex]L[/tex], que estará, então, à mesma distância do centro do círculo (roxo), em relação aos centros [tex]J[/tex] e [tex]K[/tex] dos círculos verdes. Finalmente, construímos a mediatriz do segmento [tex]\overline{LK}[/tex] e teremos o centro do círculo procurado (para entender melhor por que a mediatriz resolve, você pode consultar a resolução do problema “Usando régua e compasso” já referenciada anteriormente). Para o raio, basta tomar a medida do centro até o ponto [tex]E[/tex].
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