Investigações
Esta Atividade tem como objetivo principal estabelecer algum tipo de relação algébrica entre razões trigonométricas.
Vamos dividir a Atividade em duas partes, assim vocês deverão fazer separadamente as duas investigações:
✐ determinar possíveis relações entre o seno, o cosseno e a tangente de um mesmo ângulo;
✐ determinar possíveis relações entre senos, cossenos ou tangentes de ângulos complementares.
Em ambas as investigações vocês poderão utilizar o applet que disponibilizaremos abaixo.
Como dica, sugerimos que em cada investigação vocês utilizem as respectivas tabelas que serão disponibilizadas.
Vamos começar?
Investigação 1
Objetivo
Investigar possíveis relações entre o seno, o cosseno e a tangente de um mesmo ângulo.
Procedimento
(1) Utilizando o applet, escolher uma medida [tex]\theta[/tex], com [tex]0\lt \theta \lt 90^{\circ}[/tex].
(2) Movimentando os pontos B e C do applet, construir um triângulo retângulo, a partir do ângulo [tex]\theta[/tex] construído em (1).
(3) Utilizando os valores fornecidos pelo applet para os comprimentos dos catetos e da hipotenusa do triângulo construído em (2), calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo [tex]\theta[/tex]:
[tex]sen \, \theta =\dfrac{cateto \, oposto \, a \, \theta}{hipotenusa} \, \quad[/tex][tex]cos \, \theta=\dfrac{cateto \, adjacente \, a \, \theta}{hipotenusa} \, [/tex] [tex]\quad tg \, \theta=\dfrac{cateto \, oposto \, a \, \theta}{cateto \, adjacente \, a \, \theta}[/tex].
(4) Transportar os valores calculados em (3) para a tabela.
(5) Fazer novas escolhas para [tex]\theta[/tex] e repetir os passos anteriores. Escolham, pelo menos, 10 valores distintos para [tex]\theta[/tex].
(6) Fazer o preenchimento das demais colunas da tabela.
(7) Analisar os dados e formular conclusões.
Investigação 2
Objetivo
Investigar possíveis relações entre o seno, o cosseno e a tangente de ângulos complementares.
Procedimento
(1) Utilizando o applet, escolher uma medida [tex]\theta[/tex], com [tex]0\lt \theta \lt 45^{\circ}[/tex].
(2) Movimentando os pontos B e C do applet, construir um triângulo retângulo, a partir do ângulo [tex]\theta[/tex] escolhido em (1).
(3) Utilizando os valores fornecidos pelo applet para os comprimentos dos catetos e da hipotenusa do triângulo construído em (2), calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo [tex]\theta[/tex]:
[tex]sen \, \theta =\dfrac{cateto \, oposto \, a \, \theta}{hipotenusa} \, \quad[/tex][tex]cos \, \theta=\dfrac{cateto \, adjacente \, a \, \theta}{hipotenusa} \, [/tex] [tex]\quad tg \, \theta=\dfrac{cateto \, oposto \, a \, \theta}{cateto \, adjacente \, a \, \theta}[/tex].
(4) Transportar os valores calculados em (3) para a tabela.
(5) Movimentando os pontos B e C do applet, construir um triângulo retângulo, a partir do ângulo [tex]\alpha=90^{\circ}-\theta[/tex], sendo [tex]\theta[/tex] o ângulo construído em (1).
(6) Utilizando os valores fornecidos pelo applet para os comprimentos dos catetos e da hipotenusa do triângulo construído em (5), calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo [tex]\alpha=90^{\circ}-\theta[/tex]:
[tex]sen \, \alpha=\dfrac{cateto \, oposto \, a \, \alpha}{hipotenusa} \, \quad[/tex] [tex]cos \, \alpha=\dfrac{cateto \, adjacente \, a \, \alpha}{hipotenusa} \, [/tex] [tex]\quad tg \, \alpha=\dfrac{cateto \, oposto \, a \, \alpha}{cateto \, adjacente \, a \, \, \alpha}[/tex].
(7) Transportar os valores calculados em (6) para a tabela.
(8) Fazer novas escolhas para [tex]\theta[/tex] e repetir os passos anteriores. Escolham, pelo menos 10 valores distintos para [tex]\theta[/tex].
(9) Fazer o preenchimento das demais colunas da tabela.
(10) Analisar os dados e formular conclusões.
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Para ajudá-los na investigação, aí vai o applet prometido.
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Um applet para ajudar
Vocês podem utilizar o applet abaixo disponibilizado para construir os triângulos retângulos necessários para a investigação.
Para utilizá-lo, vocês devem:
(i) Clicar no botão abaixo.
(ii) Esperar o aplicativo carregar completamente (ele vai abrir em outra janela).
(iii) Escolher a medida de um ângulo agudo, movimentando horizontalmente o botão vermelho que aparece na parte inferior do applet.
(iv) Movimentar os botões B e C para construir o triângulo retângulo adequado.
Bom trabalho, pessoal!
Equipe COM – OBMEP