Vamos propor outro problema sobre lugar geométrico.
Exemplo 3: Fixe um plano α.
Considere todos os paralelogramos ABCD do plano α tais que a base determinada pelos pontos A e B é fixa e o comprimento da altura relativa ao vértice C é constante. Determine o lugar geométrico dos pontos de interseção das diagonais desses paralelogramos.
Este exemplo também não é trivial; assim, mãos à obra! (a) Pegue uma folha de papel e desenhe dois pontos distintos A e B e escolha uma distância d.
(b) Faça o desenho de um dos paralelogramos propostos.
(c) Seja P o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo ABCD.
(d) Agora, faça o desenho de outros paralelogramos com um dos lados determinado pelos pontos A e B e com a altura relativa a esse lado com comprimento d.
O que aconteceu com as interseções das diagonais desses paralelogramos?
Se você não conseguiu uma resposta conclusiva, as próximas Planilhas Dinâmicas podem ajudar.
Na planilha dinâmica abaixo, fixamos dois pontos distintos A e B e uma distância d.
Movimentando horizontalmente o ponto D você obterá vários paralelogramos com um dos lados determinado pelos pontos A e B e a altura relativa a esse lado com comprimento d.
Assim, clique no ponto assinalado com a letra D, mova-o horizontalmente e observe os vários paralelogramos obtidos.
Na próxima planilha, fixamos dois pontos distintos A e B e uma distância d.
Movimente o ponto D para obter paralelogramos com as propriedades requeridas e visualizar parte do Lugar Geométrico do Exemplo 3.
Para reiniciar a construção, clique no ícone localizado no canto superior direito da planilha dinâmica.
Podemos conjecturar que o lugar geométrico do Exemplo 3 é
a reta que passa pelo ponto de interseção das diagonais de
qualquer um dos paralelogramos e é paralela ao lado fixo.
Você pode ver uma animação dessa conjectura, clicando AQUI; mas lembre-se de que esta animação não substitui a demonstração matemática da conjectura.
Você pode parar ou reiniciar o movimento dos paralelogramos, clicando nos ícones que aparecem no canto inferior esquerdo do applet.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
