.Problema de Gincana: Uma fila mista

Problema

De quantos modos podemos organizar 4 homens e 4 mulheres em uma fila, de modo que não haja duas pessoas de mesmo sexo juntas?

(a) 8!

(b) 4! · 4!

(c) 2 · 4! · 4!

(d) 2 · 8!

(e) Nenhuma das alternativas anteriores.

Solução 1

• Como as mulheres não podem ficar juntas, temos que ter pelo menos um homem entre duas mulheres.
• Mas os homens também não podem ficar juntos; assim, temos que ter exatamente um homem entre duas mulheres.

Vamos, então, colocar as quatro mulheres em fila, sempre com um homem entre duas delas: [ M H M H M H M ].

• Mas temos, ainda, um homem para colocar na fila e os lugares possíveis para esse último homem são dois.

Assim, temos duas possíveis composições para a nossa fila:
[ M H M H M H M H ] ; [ H M H M H M H M ].

• Observe, também, que nas duas disposições podemos trocar as mulheres de lugar entre si (isso pode ser feito de P₄ = 4! maneiras) e os homens de lugar entre si (que pode ser feito de P₄ = 4! maneiras).

Portanto, teremos um total de 2 · 4! · 4! maneiras para organizar a fila.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Temos uma fila com 8 lugares para organizar, de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas.
Podemos ocupar o primeiro lugar da fila com um homem ou uma mulher.
Caso 1

• Se o primeiro lugar da fila for ocupado por um homem, temos 4 opções para a escolha.
• Escolhido o primeiro homem, o segundo lugar deve ser ocupado por uma mulher; logo, temos 4 escolhas para o segundo lugar.
• O terceiro lugar da fila deve ser ocupado por um homem; temos, então, 3 opções de escolha.
• Para o quarto lugar vai uma mulher; assim, temos 3 opções de escolha.
• Para o quinto e o sexto lugares vão, respectivamente, um homem e uma mulher; assim, temos 2 opções de escolha para cada um.
• Para os dois últimos lugares não temos opções de escolha, pois sobraram apenas um homem e uma mulher.

Ficamos, então, com a seguinte configuração de fila, com as respectivas opções de ocupação dos lugares:

Caso 2

• Se o primeiro lugar da fila for ocupado por uma mulher, fazemos um raciocínio análogo e obtemos a seguinte configuração da fila, com as respectivas opções de ocupação dos lugares:
  

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, a quantidade de maneiras distintas de organizar a fila tanto no Caso I como no Caso II será:
         4 × 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 4! × 4!.
Como são duas disposições distintas, teremos um total de 2 · 4! · 4! modos distintos de organizar a fila.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.