.Problema de Gincana: Um problema de tangência

Problema

Um semicírculo, cujo centro está na hipotenusa de um triângulo retângulo, tangencia os outros dois lados desse triângulo, como é mostrado na figura a seguir.

Se a hipotenusa está dividida em quatro segmentos de comprimentos [tex]3, 12, 12[/tex] e [tex]x[/tex], qual o valor de [tex]x[/tex]?

a) 2

b) 8

c) 3

d) 5

e) Nenhuma das respostas anteriores.

Solução

Observe que, com base na figura abaixo, os triângulos retângulos [tex]ADF[/tex] e [tex]FEC[/tex] são semelhantes ao triângulo retângulo [tex]ABC[/tex] e semelhantes entre si (Caso de semelhança A.A. (ângulo – ângulo)).
Além disso, utilizando as informações da figura do problema, podemos concluir que o raio do semicírculo é [tex]12[/tex].

Note, também, que:

• Do triângulo [tex]ADF[/tex], sabemos que [tex]AF=15[/tex].
• Como [tex]DF=12[/tex], utilizando o Teorema de Pitágoras obtemos [tex]AD=9[/tex].
• Do triângulo [tex]FEC[/tex], sabemos que [tex]FE=12[/tex].
• Em razão da semelhança dos triângulos [tex]ADF[/tex] e [tex]FEC[/tex], temos que [tex]\dfrac{9}{12}=\dfrac{12}{EC}=\dfrac{15}{FC}[/tex]. Assim, [tex]CE=16[/tex] e [tex]FC=20[/tex].

Como [tex]FC=12+x[/tex], então [tex]\boxed{20=12+x}[/tex] e, portanto, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=8$}\,.[/tex]

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