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Problema
(A partir da 1ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Muito Difícil)
Determine os pares ordenados [tex](x,y)[/tex] de números reais positivos que satisfazem o seguinte sistema de equações:
[tex] \begin{cases}
x^{x+y}=y^3\\
y^{x+y}=x^6\cdot y^3
\end{cases}\,[/tex].
Adaptado da V ONEM, 2008.
Solução
Sejam [tex]x\,[/tex] e [tex]\,y[/tex] números reais positivos tais que
[tex] \begin{cases}
x^{x+y}=y^3\qquad\;\;\quad \textcolor{#800000}{(i)}\\
y^{x+y}=x^6\cdot y^3\quad\quad \textcolor{#800000}{(ii)}
\end{cases}\,[/tex].
Multiplicando as duas equações que compõem esse sistema obtemos:
[tex]\qquad x^{x+y}\,\cdot\, y^{x+y}=y^3 \cdot \left(x^6\cdot y^3\right)\\
\qquad \left(x\cdot y\right)^{\left(x+y\right)}= x^6\cdot \left(y^3 \cdot y^3\right)\\
\qquad \left(x\cdot y\right)^{\left(x+y\right)}= x^6\cdot y^6\\
\qquad \left(x\cdot y\right)^{\left(x+y\right)}= \left(x\cdot y\right)^6\,.[/tex]
Como [tex]x\,[/tex] e [tex]\,y[/tex] são não nulos, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{\left(x\cdot y\right)^{\left(x+y\right)}}{\left(x\cdot y\right)^6}=1\\
\qquad \left(x\cdot y\right)^{(x+y)-6}=1\\
\qquad \left(x\cdot y\right)^{x+y-6}=1\,.[/tex]
Assim, temos uma "potência com base positiva igual a [tex]1[/tex]"; isso significa que a base é [tex]1[/tex] ou o expoente é [tex]0\,.[/tex] Analisemos os dois casos.
- [tex]x\cdot y=1[/tex]
- [tex]x+y-6=0[/tex]
Neste caso, [tex]x=\dfrac{1}{y}=y^{-1}[/tex]; substituindo essa expressão em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad x^{x+y}=y^3\\
\qquad \left(y^{-1}\right)^{(x+y)}=y^3\\
\qquad y ^{-(x+y)}=y^3\,.[/tex]
A última igualdade nos possibilita duas conclusões: "os expoentes [tex]-(x+y)[/tex] e [tex]3[/tex] são iguais" ou "[tex]y=1[/tex]".
Mas perceba que, como [tex]x\,[/tex] e [tex]\,y[/tex] são positivos, [tex]x+y[/tex] é positivo e, então,[tex]-(x+y)[/tex] é negativo. Logo, os expoentes não são iguais e consequentemente [tex]y=1.[/tex] Como [tex]x\cdot y=1[/tex], temos [tex]x=1\,.[/tex]
Portanto, este caso fornece uma única solução para o problema: [tex]\boxed{(x,y)=(1,1)}\,.[/tex]
Neste caso, [tex]x+y=6[/tex]; substituindo essa expressão em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad x^{x+y}=y^3\\
\qquad x^{6}=y^3\\
\qquad \sqrt[3]{x^{6}}=\sqrt[3]{y^3}\\
\qquad x^{2}=y\,.[/tex]
Como [tex]x+y-6=0[/tex], temos que
[tex]\qquad x+x^2-6=0\\
\qquad x^2+x-6=0\,.[/tex]
Para resolver essa equação quadrática, calculamos o discriminante [tex]\Delta=1^2+4\cdot 6=1+24=25[/tex] e obtemos:
[tex] \qquad x=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\dfrac{-1\pm 5}{2}\\
\qquad x_1=\dfrac{-1+5}{2} \text{ ou } x_2=\dfrac{-1-5}{2}\\
\qquad x_1=2 \text{ ou }\, x_2=-3\,.[/tex]
Mas [tex]x[/tex] é um valor positivo; logo, [tex]x=2.[/tex]
Como [tex]x+y-6=0[/tex], concluímos que [tex]y=4[/tex] e este caso também fornece uma única solução para o problema: [tex]\boxed{(x,y)=(2,4)}\,.[/tex]
Logo, existem apenas dois pares ordenados de números reais positivos que satisfazem o sistema de equações apresentado no problema: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(1,1) \text{ e } (2,4)$}\,.[/tex]
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