(A) Problema para ajudar na escola: Lembranças natalinas

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)

Uma escola encomendou para um artesão lembranças natalinas na forma de um lápis, para distribuir aos seus professores. Esses lápis foram confeccionados a partir de cones e cilindros circulares retos, como mostra a figura abaixo.
Qual a área lateral, a área total e o volume de cada um desses lápis?

(Problema adaptado do livro Matemática, volume único– Gelson Iezzi & outros)

Solução

(a) A figura ao lado mostra que a superfície lateral do lápis é a superfície lateral de um cilindro circular reto e a superfície lateral de um cone circular reto:

• a superfície lateral do cilindro é um retângulo de dimensões $20\,\pi$ (comprimento da circunferência da base) e $30$;
• a superfície lateral do cone é um setor circular de raio $20$ (geratriz do cone) e cujo comprimento de arco é $20 \, \pi$ (comprimento da circunferência da base).

Assim, a área lateral $A_{lat}$ é a soma das áreas $A_1$ e $A_2$ indicadas na figura.
Vamos calculá-las.

• Área do retângulo:

$\qquad A_2=20\,\pi\times 30=600\,\pi\,\text{cm}^2 \, .$

• Área do setor circular:

Utilizando a primeira fórmula do Lembrete, temos que:
$\qquad A_{1}=\dfrac{20\,\pi\times 20}{2}=200\,\pi\,\text{cm}^2 \, .$

Assim,
$\qquad A_{lat}=A_1+A_2=200\,\pi+600\,\pi=800\,\pi \,$,
ou seja, a área lateral do lápis é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$800\,\pi\,\text{cm}^2$} \, .$

(b) A figura lateral acima nos indica que a área total do lápis, $A_t$, é a soma $A_1+A_2+A_3$, sendo $A_3$ a área de um círculo de raio $10\,\text{cm}$.
Já temos os valores $A_1$ e $A_2$; vamos calcular $A_3$:
$\qquad A_3=10^2\times\pi=100\,\pi$.
Portanto:
$\qquad A_t=A_1+A_2+A_3=200\,\pi+600\,\pi+100\,\pi=900\,\pi$
e, com isso, a área total do lápis é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$900\,\pi\,\text{cm}^2$} \, .$

(c) O volume $V$ do lápis é a soma do volume $V_{cone}$ de um cone circular reto e do volume $V_{cil}$ de um cilindro circular reto.

Façamos os cálculos:

• Volume de um cone circular reto com raio da base $10\,\text{cm}$ e altura $h$, sendo $h$ o segundo cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa com comprimento $20\,\text{cm}$ e um cateto com comprimento $10\,\text{cm}$ (terceira fórmula do Lembrete):

$\qquad V_{cone}=\dfrac{\pi \cdot 10^2 \cdot h}{3} \, .$
Aqui precisaremos do valor de $h$. Para isso, utilizaremos o Teorema de Pitágoras:
$\qquad h^2+10^2=20^2\\ \qquad h^2=400-100\\ \qquad h^2=300\\ \qquad h=10\sqrt{3}.\\$
Finalizando o cálculo do volume, obtemos:
$\qquad V_{cone}=\dfrac{\pi \cdot 10^2 \cdot 10\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1000\sqrt{3} \, \pi }{3} \, \text{cm}^3 \, .$

• Volume de um cilindro circular reto com raio da base $10\,\text{cm}$ e altura $30\,\text{cm}$ (segunda fórmula do Lembrete):

$\qquad V_{cil}=\pi\cdot 10^2 \cdot 30=3000 \, \pi \, \text{cm}^3 \, .$

Portanto, segue que:
$\qquad \qquad V=V_{cone}+V_{cil}\\ \qquad \qquad V=\dfrac{1000\sqrt{3} \, \pi }{3}+3000 \, \pi\\ \qquad \qquad V=\dfrac{1000\sqrt{3} \, \pi +9000 \, \pi}{3}\\ \qquad \qquad V=\dfrac{1000\pi}{3}\cdot\left(\sqrt{3}+9\right).\\ $
Temos, então, que o volume do lápis é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1000\pi}{3}\cdot\left(\sqrt{3}+9\right)\,\text{cm}^3$} \,$, ou aproximadamente, $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$11 \, 232,88 \, \text{cm}^3$} \,$, ou ainda,$\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$11,2 \, dm^3$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.