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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)
Dois números naturais são ditos primos entre si se o máximo divisor comum entre eles ([tex]mdc[/tex]) for [tex]1[/tex].
Quantos são os pares ordenados [tex](a,b)[/tex] formados por números naturais não nulos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], primos entre si, tais que [tex]a+b=1000 \, [/tex]?
Solução
Seja [tex]a[/tex] um número natural não nulo menor do que [tex]1000[/tex].
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Se [tex]a+b=1000 \, [/tex], observe também que:
Se [tex]a[/tex] for um número par, então [tex]b[/tex] também é um número par.
-
Com efeito, se [tex]a[/tex] é um número par, então [tex]a=2k_1[/tex], para algum número natural não nulo [tex]k_1[/tex], [tex]k_1\lt 500[/tex]. Dessa forma, temos que:
[tex]\qquad b=1000-2k_1=2(500-k_1).[/tex]
Se [tex]t_1=500-k_1[/tex], então [tex]b=2t_1[/tex], com [tex]t_1 \in \mathbb{N}[/tex], e assim concluímos que [tex]b[/tex] é par.
Se [tex]a[/tex] for um múltiplo de [tex]5[/tex] então [tex]b[/tex] também é um múltiplo de [tex]5[/tex].
- Com efeito, se [tex]a[/tex] é um número múltiplo de [tex]5[/tex], então [tex]a=5k_2[/tex], para algum número natural não nulo [tex]k_2[/tex], [tex]k_2\lt 200[/tex]. Dessa forma, temos que:
[tex]\qquad b=1000-5k_2=5(200-k_2).[/tex]
Se [tex]t_2=200-k_2[/tex], então [tex]b=5t_2[/tex], com [tex]t_2 \in \mathbb{N}[/tex], e assim concluímos que [tex]b[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex].
Dessa forma:
► Se [tex]a[/tex] for par, então [tex]b[/tex] é par e, portanto, [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] não são primos entre si.
► Se [tex]a[/tex] for múltiplo de [tex]5[/tex], então [tex]b[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex] e, portanto, [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] não são primos entre si.
[tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] Além de [tex]a+b=1000 \, [/tex], suponhamos agora que [tex]a[/tex] não seja par e nem um múltiplo de [tex]5[/tex] e que [tex]d[/tex] seja um divisor comum de [tex]a[/tex] e de [tex]b.[/tex]
Sendo divisor de [tex]a[/tex] e de [tex]b[/tex], necessariamente [tex]d[/tex] é um divisor de [tex]1000[/tex] e [tex]1000=2^3 \times 5^3[/tex]. Mas os divisores de [tex]d[/tex] são divisores de [tex]a[/tex] e como [tex]a[/tex] não é par e nem múltiplo de [tex]5[/tex], concluímos que só existe uma opção para [tex]d[/tex]: [tex]d=1[/tex]; e, portanto, [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são primos entre si.
Perceba que, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], conseguimos uma maneira indireta de contarmos as soluções do problema, pois o número de pares [tex](a,b)[/tex] de números naturais não nulos, primos entre si, tais que [tex]a+b = 1000[/tex] é a quantidade de números naturais [tex]a[/tex], [tex]0 \lt a \lt 1000[/tex], tais que [tex]a[/tex] não é par nem múltiplo de [tex]5.[/tex]
Vamos então à contagem.
De [tex]1[/tex] a [tex]999[/tex]:
- existem [tex]999[/tex] números naturais não nulos;
- existem [tex]499[/tex] números pares;
- dos [tex]500[/tex] números ímpares restantes, um quinto são múltiplos de [tex]5[/tex]: [tex]100[/tex] números.
Logo, a quantidade de pares [tex](a, b)[/tex] de números naturais não nulos primos entre si tais que [tex]a + b = 1000[/tex] é:
[tex]\qquad \qquad \, 999 − 499 – 100 = \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, 400 \, $} \, .[/tex]
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