(A) Problema para ajudar na escola: Valor da expressão

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

[tex]\left(1^2-2^2-3^2+4^2 \right)+ \left(5^2-6^2-7^2+8^2 \right)+ \cdots + \left(17^2-18^2-19^2+20^2 \right)\, .[/tex]

Solução

• [tex]1^2-2^2-3^2+4^2=1-4-9+16=17-13=\boxed{4}.[/tex]
• [tex]5^2-6^2-7^2+8^2=25-36-49+64=89-85=\boxed{4}.[/tex]
• [tex]9^2-10^2-11^2+12^2=81-100-121+144=225-221=\boxed{4}.[/tex]
• [tex]13^2-14^2-15^2+16^2=169-196-225+256=425-421=\boxed{4}.[/tex]
• [tex]17^2-18^2-19^2+20^2=289-324-361+400=689-685=\boxed{4}.[/tex]

Assim,
►[tex]\left(1^2-2^2-3^2+4^2 \right)+ \left(5^2-6^2-7^2+8^2 \right)+ \cdots \\
\qquad \cdots + \left(17^2-18^2-19^2+20^2 \right)= =5 \times \boxed{4}=20\, .[/tex]

Coincidência?

– NÃO! Observe…

Perceba que cada parêntese da expressão numérica em questão tem quatro parcelas, sendo a última da forma [tex]\left(4n\right)^2[/tex], com [tex]n[/tex] um número natural não nulo. Portanto, o n-ésimo parêntese da expressão numérica pode ser assim definido:
[tex]\qquad \left(4n-3\right)^2-\left(4n-2\right)^2-\left(4n-1\right)^2+\left(4n\right)^2.[/tex]
Fazendo as continhas, segue que
[tex]\qquad \qquad \left(4n-3\right)^2-\left(4n-2\right)^2-\left(4n-1\right)^2+\left(4n\right)^2 \\
\qquad \qquad= \left(16n^2-24n+9\right)-\left(16n^2-16n+4\right)-\left(16n^2-8n+1\right)+\left(16n^2\right)\\
\qquad \qquad= \left(16n^2-16n^2-16n^2+16n^2\right)+\left(-24n+16n+8n\right)+\left(9-4-1\right)\\
\qquad \qquad=0+0+4=4,[/tex]
ou seja,

• [tex]\boxed{\left(\left(4n-3\right)^2-\left(4n-2\right)^2-\left(4n-1\right)^2+\left(4n\right)^2\right) =4}\, [/tex], para qualquer número natural não nulo [tex]n[/tex].

Assim, para determinarmos as somas finais abaixo, por exemplo, só precisamos determinar quantos parênteses do tipo [tex]\left(\left(4n-3\right)^2-\left(4n-2\right)^2-\left(4n-1\right)^2+\left(4n\right)^2\right)\, [/tex] aparecem em cada soma (ou até menos do que isso).

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.