✏ Link do problema para dispositivos da Apple.
Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Para que um usuário digite o código de acesso do seu celular, ele utiliza um teclado numérico, como o que aparece na figura abaixo.
Uma pessoa observa de longe o proprietário do celular e percebe que:
I) O código utilizado possui [tex]4[/tex] dígitos.
II) O primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha.
III) O segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior.
Calcule o número de códigos que deverão ser experimentados para que, com certeza, essa pessoa consiga desbloquear e acessar as informações desse aparelho celular.
Adaptado de IME – 2005.
AJUDAS
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- [tex]\cdots[/tex]
- uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas e
- todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[/tex] decisões (D1 e D2 e [tex]\cdots[/tex] e Dk) é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .[/tex]
✏ Princípio Aditivo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- [tex]\cdots[/tex]
- uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas e
- todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então a quantidade de maneiras em que uma das [tex]k[/tex] decisões pode ser tomada (D1 ou D2 ou [tex]\cdots[/tex] ou Dk) é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1+ m_2 + \cdots + m_k} \, .[/tex]
Solução 1
Pelas observações feitas, podemos concluir que o segundo e o terceiro dígitos não podem assumir o valor zero (pois não há linha abaixo) e o primeiro e o último dígitos não podem assumir os valores [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex] (pois não há linha acima).
Assim, temos dois casos para analisar:
-
1º) O primeiro e o último dígitos estão na última linha
Assim, temos apenas uma opção para o primeiro e o último (zero), três possibilidades para o segundo ([tex]7[/tex] ou [tex]8[/tex] ou [tex]9[/tex]) e três possibilidades para o terceiro ([tex]7[/tex] ou [tex]8[/tex] ou [tex]9[/tex]).
Pelo Princípio Multiplicativo, [tex]1\times 1 \times 3 \times 3 = 9[/tex] possibilidades.
2º) O primeiro e o último dígitos estão na segunda ou terceira linha
Assim, temos seis opções para o primeiro ([tex]4[/tex], [tex]5[/tex], [tex]6[/tex], [tex]7[/tex], [tex]8[/tex] ou [tex]9[/tex]), três para o último (mesma linha do primeiro), três possibilidades para o segundo (linha imediatamente acima) e três possibilidades para o terceiro (mesma linha do segundo).
Pelo Princípio Multiplicativo, temos [tex]6 \times 3\times 3 \times 3=162[/tex] possibilidades.
Por fim, utilizando o Princípio Aditivo, são [tex]\boxed{162+9=171}[/tex] possibilidades para desbloquear o aparelho celular.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Como o primeiro e o último dígitos encontram-se em uma mesma linha e o segundo e o terceiro dígitos estão na linha imediatamente superior à linha do primeiro e do último dígitos, deve existir uma linha acima da ocupada pelo primeiro e último dígitos.
Dessa forma, temos três possibilidades para a linha ocupada pelo primeiro e último dígitos: ambos estão na segunda ou na terceira ou na última linha. Vamos analisar separadamente esses casos.
- Primeiro e último dígitos estão na segunda linha e, consequentemente, o segundo e terceiro dígitos estão na primeira linha
Neste caso, temos três possibilidades para cada um dos quatro dígitos:[tex]\begin{array}{c c c c}
\underline{\text{ 3 possibilidades}}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}\\
1^\circ \text{ dígito}&2^\circ \text{ dígito}&3^\circ \text{ dígito}& 4^\circ \text{ dígito}
\end{array}[/tex].Assim, pelo Princípio Multiplicativo, o código pode ser formado de [tex] \, \boxed{3\times 3 \times 3 \times 3=81}[/tex] modos, nestas condições.
- Primeiro e último dígitos estão na terceira linha e, consequentemente, o segundo e terceiro dígitos estão na segunda linha
Neste caso, temos também três possibilidades para cada um dos quatro dígitos:[tex]\begin{array}{c c c c}
\underline{\text{ 3 possibilidades}}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}&\underline{\text{ 3 possibilidades }}\\
1^\circ \text{ dígito}&2^\circ \text{ dígito}&3^\circ \text{ dígito}& 4^\circ \text{ dígito}
\end{array}[/tex].Assim, pelo Princípio Multiplicativo, o código pode ser formado de [tex] \, \boxed{3\times 3 \times 3 \times 3=81}[/tex] modos, nestas condições.
- Primeiro e último dígitos estão na quarta linha e, consequentemente, o segundo e terceiro dígitos estão na terceira linha
Neste caso, há apenas uma opção para o primeiro e o último dígito (zero); para cada um dos outros dois dígitos, temos três possibilidades:[tex]\begin{array}{c c c c}
\underline{\text{1 possibilidade}}&\underline{\text{ 3 possibilidades}}&\underline{\text{ 3 possibilidades}}&\underline{\text{ 1 possibilidade}}\\
1^\circ \text{ dígito}&2^\circ \text{ dígito}&3^\circ \text{ dígito}& 4^\circ \text{ dígito}
\end{array}[/tex].Assim, pelo Princípio Multiplicativo, o código pode ser formado de [tex] \, \boxed{1\times 3 \times 3 \times 1=9}[/tex] modos, nestas condições.
Finalmente, utilizando o Princípio Aditivo, são [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$81+81+9=171$}~[/tex] possibilidades para desbloquear o aparelho celular em questão.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.