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Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
“Todos os estados brasileiros estão aptos a emplacar veículos com o novo modelo da Placa de Identificação Veicular (PIV) no padrão Mercosul. O diferencial da placa do Mercosul em relação ao modelo atual (cinza) são os itens de segurança, como o QR Code, que possibilita a rastreabilidade, dificultando a sua clonagem e falsificação. A adoção do novo modelo também resolve o problema da falta de combinações de caracteres para as placas do País, que acabariam em poucos anos.”
(Retirado de: gov.br.)
No Brasil, o código das placas dos automóveis no padrão Mercosul é uma sequência alfanumérica com sete caracteres, da forma [tex]LLL\;NLNN[/tex], onde [tex]L[/tex] representa uma letra do alfabeto e [tex]N[/tex] um algarismo. Veja um exemplo:
Com base nas regras vistas acima, encontre o total de possíveis sequências que podem dar origem a placas do padrão Mercosul.
Ajuda
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- [tex]\cdots[/tex]
- uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas,
- e todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[/tex] decisões é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k}\, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
O espaço de cada letra na sequência pode ser preenchido de [tex]26[/tex] modos (de A a Z), enquanto que, o espaço de cada algarismo, de [tex]10[/tex] modos (de [tex]0[/tex] a [tex]9[/tex]).
[tex]\begin{array}{c c c c c }
\overline{\text{Letra}}&\overline{\text{Letra}}&\overline{\text{Letra}}&\overline{\text{Algarismo}}&\overline{\text{Letra}}&\overline{\text{Algarismo}}&\overline{\text{Algarismo}}\\
\end{array}[/tex]
Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possíveis sequências que podem dar origem a placas é dado por:
Observação: A sequência de caracteres nas placas do modelo antigo é composta por três letras seguidas de quatro algarismos. Assim, o total de sequências diferentes que poderiam existir é [tex]26\times 26\times 26\times 10\times 10\times 10\times 10 = 26^3\times 10^4 = 175\;760\;000[/tex], um total de [tex]281\;216\;000[/tex] a menos do que o modelo atual.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.