Observando gráficos

Atividade 1: As curvas abaixo representam gráficos de funções?
Vamos lá!
(a) Sim. E podemos até considerar que o Domínio e o Contradomínio da função, digamos, $f$ é o conjunto dos números reais. Assim, teríamos o gráfico de uma função $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.
(b) Não. Observe que temos números reais negativos com duas imagens. Na figura a seguir, vemos a representação gráfica de três desses números (pontos).

(c) Depende. Se considerarmos como domínio o conjunto dos números reais, a curva que aparece neste item não é gráfico de uma função, visto que qualquer número real pertencente ao intervalo $]-2,2]$ não teria imagem.
Mas se considerarmos como domínio a união dos conjuntos $\{x \in \mathbb{R}~|~x \leqslant 2\}~$ e $~\{x \in \mathbb{R}~|~x \gt2\}~$, aí teremos um gráfico de função:
$\qquad g:\{x \in \mathbb{R}~|~x \leqslant 2\} \cup \{x \in \mathbb{R}~|~x \gt2\} \rightarrow \mathbb{R}$.

Atividade 2: Estabeleça um domínio para que cada gráfico abaixo represente uma função. Considere os quadradinhos da malha quadriculada com lados unitários.

Sejam $f$, $g$ e $h$ as funções cujos gráficos aparecem nas imagens acima. Assim:
(a) $D(f)=\{-4,-3,-2,-1,0,2,3\}.$
(b) $D(g)=[-2,4\,[=\{x \in \mathbb{R}~|-2 \leqslant x \lt 4\}.$
(c) $D(h)=\,]-3,3]-\{-1,1 \}\\ D(h)=\{x \in \mathbb{R}~|-3 \lt x \leqslant 3\text{, com } x \ne -1\text{ e } x\ne 1\}.$

Atividade 3: Estabeleça um domínio para que cada gráfico abaixo represente uma função. Em seguida, determine as imagens das funções. Em cada malha quadriculada, considere os quadradinhos com lados unitários.

$\quad \begin{align*} \textcolor{blue}{D(f)=\{x \in \mathbb{R}~|~-3\leqslant x \lt 5\}} \qquad & \textcolor{red}{D(g)=\{x \in \mathbb{R}~|~-2\lt x \leqslant 3\}}\\ \textcolor{blue}{Im(f)=\{y \in \mathbb{R}~|~1\leqslant y \lt 3\}} ~~~~\qquad & \textcolor{red}{Im(g)=\{-2,-1,0,1,2\}}\\ \end{align*}$

Atividade 4: Abaixo vemos os gráficos de algumas funções definidas de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Determine o conjunto imagem de cada uma delas.

$\qquad \textcolor{#00B050}{Im(f)=\{-3,0,3\}.} \\ \qquad \textcolor{red}{Im(g)=\{y \in \mathbb{R}~|~y\leqslant 2\}.} \\ \qquad \textcolor{blue}{Im(h)=\{y \in \mathbb{R}~|y \gt 2\}\cup \{y \in \mathbb{R}~|-2 \leqslant y \leqslant 0\}.}\\$

$\qquad \textcolor{#FF33CC}{Im(k)=\{y \in \mathbb{R}~|~ -2 \leqslant y\leqslant 2\}.} \\ \qquad \textcolor{#BF9000}{Im(t)=\{y \in \mathbb{R}~|~y\leqslant 2 \text{ ou } y=3\}.}$

Atividade 5: Todos os gráficos a seguir representam funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Determine as regiões de crescimento e de decrescimento de cada uma delas.
a)
► Decrescente nos intervalos $\{x \in \mathbb{R}~|~ x \leqslant -2\}~$ e $~\{x \in \mathbb{R}~|~ x \geqslant 2\}.$

► Constante no intervalo $\{x \in \mathbb{R}~|-2 \leqslant x \leqslant 2\}.$

b)
► Decrescente nos intervalos $\{x \in \mathbb{R}~|~ x \leqslant -2\}~$ e $\{x \in \mathbb{R}~|~ 0 \leqslant x \leqslant 2\}.$
► Crescente nos intervalos $\{x \in \mathbb{R}~|~-2 \leqslant x \leqslant 0\}~$ e $\{x \in \mathbb{R}~| x \geqslant 2\}.$

c)
►Crescente nos intervalos $\{x \in \mathbb{R}~|~ x \lt 0\}~$ e $~\{x \in \mathbb{R}~|~ x \geqslant 0\}.$
Como $\{x \in \mathbb{R}~|~ x \lt 0\}~\cup ~\{x \in \mathbb{R}~|~ x \geqslant 0\}=\mathbb{R}$, podemos dizer que a função é crescente?

Atividade 6: (Vunesp – 94) Considere duas funções, $f~$ e $~g$, definidas no intervalo $I=\{ x \in \mathbb{R}~|~ 1 \leqslant x \leqslant 5\}$, tais que $f(1) = g(1) = 0$, $f(3) \cdot g(3) = 0~$ e $f(5) \gt g(5).$
Representando o gráfico de $f$ em linha cheia e o de $g$ em linha tracejada, a figura que melhor se ajusta a esses dados é:

► Na figura a, observe que $g(1) \gt 0$, logo $g(1) \ne 0.$ Assim a condição de que $g(1)=0$ não está cumprida e podemos eliminar esta figura.
► Observando a figura b, percebemos que $3$ não é raiz de nenhuma das duas funções e, portanto, teríamos $f(3)\ne 0~$ e $~g(3)\ne 0.$
No entanto, sabemos que $f(3) \cdot g(3)=0$, logo devemos ter $f(3)=0$ ou $g(3) =0$. Portanto, também podemos eliminar esta figura.
► Observe que tanto na figura d quanto na figura e temos que a imagem $g(5)$ é positiva e a imagem $f(5)$ é negativa e, com isso, temos $g(5) \gt f(5)$, o que contraria a informação de que $f(5) \gt g(5).$
Dessa forma eliminamos simultaneamente essas duas figuras.
► Observe que na figura c todas as condições apresentadas no problema são cumpridas: $f(1) = g(1) = 0$, $g(3)=0~$ e $f(5) \gt g(5).$
Portanto, a figura que melhor se ajusta aos dados do problema é a figura c.

Atividade 7: Considere o gráfico de uma dada função $f:[-5,5]\rightarrow \mathbb{R}$.
a) Responda se cada item abaixo é verdadeiro ou falso.
(i) $f(-2)=f(2)$
(ii) A função $f$ possui exatamente uma raiz real.
b) Aproveite e analise o crescimento e decrescimento da função.

a)

b) ► $f$ é constante no intervalo $\{x \in \mathbb{R}~|-5 \leqslant x \lt -2\}.$
► $f$ é crescente no intervalo $\{x \in \mathbb{R}~|~0 \leqslant x \lt 2\}.$
► $f$ é decrescente nos intervalos $\{x \in \mathbb{R}~|~-2 \lt x \leqslant 0\}~$ e $~\{x \in \mathbb{R}~|~2 \lt x \leqslant 5\}.$

Atividade 8: Seja $a$ um número real positivo e observe o gráfico da função $f:[0,a]\rightarrow \mathbb{R}$.

A partir desse gráfico, é possível construirmos o gráfico de uma função $g:[-a,a]\rightarrow \mathbb{R}$ de modo que $g$ seja par?
E para que $g$ seja ímpar?
a) Observe que o gráfico abaixo define uma função par de $[-a,a]$ em $\mathbb{R}.$

b) Observe, agora, que o gráfico abaixo define uma função ímpar de $[-a,a]$ em $\mathbb{R}.$

c) Para as duas funções definidas, determine graficamente as regiões de crescimento e decrescimento.

Exemplo 9: As curvas abaixo representam gráficos de funções?

a) A curva apresentada no item a não representa o gráfico de uma função, já que existem retas verticais que cortam a curva em mais de um ponto. Observe na próxima imagem as retas $~r~$ e $~s.$

b) A curva apresentada no item b também não representa o gráfico de uma função. Observe na figura abaixo que as retas verticais $~t~$ e $~v$ cortam a curva em dois pontos cada uma.

c) A curva apresentada no item c não representa o gráfico de uma função. Observe que se a curva em questão fosse o gráfico de uma função, $x=4$ teria várias imagens. Na figura abaixo sinalizamos quatro dessas imagens.