.Problema: Câmbio intergaláctico

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

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Na Edição 14 da revista Disney Big (2012), a história A Conquista Planetária narra a viagem de Donald a um novo planeta.

No quadrinho 3 das páginas exibidas, o extraterreste dá o preço de 100 créditos para o conserto da nave de Donald. Em seguida, faz um desconto e dá o novo preço, desta vez em patacas (a moeda dos patos): 500 patacas.

(a) Supondo que o desconto tenha sido de 10%, calcule a taxa de câmbio pataca [tex]\to[/tex] crédito.

(b) No quadrinho 9, outro extraterrestre negocia o conserto por 50 patacas. Pelo item (a), quanto isso vale em créditos? Qual foi o desconto dado por este extraterrestre?

Solução 1

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A princípio, vamos chamar de [tex]P[/tex] o valor total do conserto da nave do Donald. Usaremos as letras [tex]p[/tex] e [tex]c[/tex] para nos referirmos às moedas Patacas e Créditos, respectivamente.
Podemos anotar as seguintes informações:
[tex]\qquad P_c = 100[/tex] (preço total do conserto é de [tex]100[/tex] créditos)
[tex]\qquad P_p =?[/tex] (preço total do conserto é de [tex]?[/tex] patacas)
Supondo um desconto de [tex]10\%[/tex], os preços [tex]P_{90\%}[/tex] (preço com o desconto) seriam:
[tex]\qquad {P_{90\%}}_c =?[/tex]
[tex]\qquad {P_{90\%}}_p = 500[/tex]

(a) Com estas informações iniciais, podemos, primeiramente, utilizar uma regra de três simples para obter o valor de [tex]P_p[/tex]:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\text{Porcentagem de preço}&&\text{Patacas}\\
\;90\% & \text{———} & 500 \;\\
\;100\% & \text{———} & P_p \;\end{array}[/tex]

[tex]\qquad 90 \cdot P_p = 100 \cdot 500\\
\qquad P_p = \dfrac{50000}{90}\\
\qquad P_p = \dfrac{5000}{9}\\
\qquad P_p \approx 555,56.[/tex]

Assim, o preço total do conserto, em patacas, é de aproximadamente [tex]555,56[/tex] patacas.

Agora que sabemos o valor de [tex]P[/tex] tanto em patacas quanto em créditos, podemos utilizar outra regra de três para obtermos a taxa de câmbio entre as duas moedas (optaremos por utilizar frações, a fim de obter resultados mais precisos, sendo [tex]p[/tex] o valor de um crédito, em patacas):

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\text{Patacas}&&\text{Créditos}\\
\;\dfrac{5000}{9} & \text{———} & 100 \;\\
\;p & \text{———} & 1 \;\end{array}[/tex]

[tex]\qquad 100p = \dfrac{5000}{9}\\
\qquad p = \dfrac{5000}{9\cdot 100}\\
\qquad p = \dfrac{50\cancel{00}}{9\cdot 1\cancel{00}}\\
\qquad p = \dfrac{50}{9}[/tex]
[tex]\qquad p \approx 5,56[/tex] patacas.
Se fizéssemos a conta sendo [tex]c[/tex] o valor de uma pataca, em créditos, chegaríamos em [tex]c=\dfrac{9}{50} \approx 0,18[/tex] patacas.
Portanto, as taxas de conversão são:

• 1 crédito é o equivalente a aproximadamente [tex]5,56[/tex] patacas;
• 1 pataca é o equivalente a aproximadamente [tex]0,18[/tex] créditos.

(b) Agora que temos as taxas de câmbio, o caminho fica mais fácil:

• Como [tex]1[/tex] pataca é o equivalente a [tex]0,18[/tex] créditos, então [tex]50[/tex] patacas equivalem a [tex]9[/tex] créditos.

Caso o preço original fosse de [tex]100[/tex] créditos, e ele estivesse pagando apenas [tex]9[/tex] créditos, é notório que ele estaria pagando apenas [tex]9\%[/tex] do valor original, ou seja, Donald recebeu um desconto de aproximadamente [tex]91\%[/tex].

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Solução elaborada pelo COM Potências de Euler, com contribuições dos Moderadores do Blog.

Solução 2

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a) Como o preço inicial dado pelo extraterreste para o conserto da nave de Donald foi 100 créditos e ele deu um desconto de 10% nesse preço, o novo preço [tex]N[/tex], em créditos, para o conserto pode ser assim calculado:
[tex]\qquad N= 100-0,1 \times 100=100-10=90.[/tex]
Assim, o preço com desconto para o conserto da nave foi 90 créditos.
Agora, observe que o preço do conserto em patacas com desconto é 500 patacas; portanto, 90 créditos equivalem a 500 patacas.
Dessa forma, podemos obter a taxa de câmbio de pataca para crédito com uma regrinha de três simples:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c}
500\, p & \text{———} & 90\, c\\
1 \, p & \text{———} & x \, c \end{array}[/tex]

Fazendo as contas, obtemos:
[tex] \qquad 500x=90\\
\qquad x=\dfrac{90}{500}\\
\qquad x= \dfrac{9}{50}.[/tex]
Portanto, 1 pataca equivale a [tex]\dfrac{9}{50}[/tex] créditos ou, ainda,

• 1 pataca equivale a 0,18 créditos.

(b) Como 1 pataca equivale a 0,18 créditos, então 50 patacas equivalem a 9 créditos.
Como o preço original do conserto era 100 créditos e o segundo extraterrestre ofereceu o conserto por 9 créditos, Donald teria 91 créditos de desconto. Como estamos usando um referencial de 100 créditos, esse desconto percentualmente equivale a 91%.

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Solução elaborada pelo Moderadores do Blog.