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Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(ITA, 2020) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais [tex]k[/tex] para os quais a reta [tex]y=kx[/tex] intersecta a parábola [tex]y=x^2+ax+b[/tex] é igual a [tex]]-\infty, 2]\cup [6,+\infty[[/tex], determine os números [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex].
Solução
Pelo enunciado vamos trabalhar com as interseções da parábola e da reta definidas, respectivamente, por [tex]y=x^2+ax+b[/tex] e [tex]y=kx[/tex]; assim, considere o sistema
[tex]\qquad \begin{cases}y = kx\\
y = x^2+ax+b.
\end{cases}[/tex]
Substituindo [tex]y=kx[/tex] na segunda equação, obtemos [tex]kx = x^2+ax+b[/tex], ou ainda, [tex]\boxed{x^2+(a-k)x+b = 0}.[/tex]
Agora, como a reta intersecta a parábola, esta última equação tem pelo menos uma raiz e, portanto, o seu discriminante é não negativo. Com isso, segue que:
[tex]\qquad \Delta= (a-k)^2-4\cdot 1\cdot b\geq 0\\
\qquad k^2-2ak+a^2-4b\geq 0.[/tex]
Ainda pelo enunciado do problema, o conjunto solução da última inequação acima é [tex]]-\infty, 2]\cup [6,+\infty[[/tex].
Assim, se considerarmos a função [tex]f[/tex] definida por [tex]f(k)= k^2-2ak+a^2-4b[/tex], as raízes de [tex]f(k)=0[/tex] são [tex]k=2[/tex] e [tex]k=6[/tex].
Sabemos que se [tex]S~[/tex] e [tex]~P[/tex] são respectivamente a soma e o produto das raízes de uma equação do segundo grau na variável [tex]x[/tex], então essa equação é da forma [tex]x^2-Sx+P = 0[/tex].
Observe que, no nosso caso, temos uma equação do segundo grau na variável [tex]k[/tex] cuja soma das raízes é [tex]S=8[/tex] e o produto é [tex]P=12[/tex]; assim essa equação é [tex]k^2-8k+12=0[/tex] e, consequentemente, temos [tex]f(k) = k^2-8k+12[/tex] (veja esta página para entender melhor).
Com isso, devemos ter [tex]k^2-2ak+a^2-4b = k^2-8k+12. [/tex]
Para que haja igualdade é necessário que os respectivos coeficientes sejam iguais, ou seja,
[tex]\qquad \begin{cases}-2a = -8\\
a^2-4b = 12
\end{cases}.[/tex]
Da primeira equação, temos [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a = 4$}\,.[/tex] Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos [tex]4^2-4b = 12[/tex], donde segue que [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=1$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.