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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(EPCAR – 2022) No contexto atual, a máscara deve fazer parte do nosso vestuário. Usuários desse item de extrema necessidade individual e coletiva buscam a produção caseira e, para isso, existem vários modelos disponíveis com sugestões de materiais.
Considere a confecção de máscaras caseiras, seguindo os modelos das figuras a seguir, bem como as especificações de materiais para cada uma de suas partes.
Com as especificações indicadas acima, qual a quantidade de máscaras diferentes que se pode confeccionar?
AJUDA
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para duas decisões:
Se uma decisão A pode ser tomada de [tex] m [/tex] maneiras distintas e, tomada essa decisão A, uma decisão B puder ser tomada de [tex] n [/tex] maneiras distintas, então a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente as decisões A e B é igual a [tex]~\boxed{ m \times n}\, . [/tex]
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para três decisões :
Se uma decisão A puder ser tomada de [tex] m [/tex] maneiras, uma decisão B puder ser tomada de [tex]n [/tex] maneiras, uma decisão C puder ser tomada de [tex]p [/tex] maneiras, e a tomada de uma decisão não mude a quantidade de possibilidades para a tomada de outra, então a quantidade de maneiras de se tomar essas três decisões ao mesmo tempo é dada pelo produto: [tex]\boxed{m\times n \times p} \, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
Repare que para confeccionar uma máscara devemos tomar três decisões:
I) Escolha do elástico
Como há [tex]2[/tex] tipos diferentes (roliço e chato) e [tex]3[/tex] cores diferentes (vermelho, preto e branco), teremos, pelo Princípio Multiplicativo, [tex]2\times 3=6[/tex] maneiras de escolher o elástico.
II) Escolha do lado interno do tecido
Há apenas [tex]2[/tex] tipos diferentes de tecidos: proteção antiviral e sem proteção antiviral. Portanto, há [tex]2[/tex] maneiras de tomarmos essa decisão.
III) Escolha do lado externo do tecido
Como há [tex]3[/tex] tipos diferentes (algodão, tricoline e TNT) e [tex]2[/tex] padrões diferentes (liso e estampado), teremos, pelo Princípio Multiplicativo, [tex]3\times 2=6[/tex] maneiras de escolher o lado externo.
Logo, novamente utilizando o Princípio Multiplicativo, temos [tex]\boxed{6\times 2\times 6=72}[/tex] maneiras de confeccionar uma máscara, seguindo as especificações indicadas.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.