Problema
O rótulo de uma embalagem de queijo cremoso indica que o mesmo contém 24% de gordura. O mesmo rótulo diz também que há 64% de gordura na parte sólida do queijo (o que sobra após uma possível desidratação).
Qual é a porcentagem de água no queijo?
Adaptado de Canguru de Matemática Brasil, 2014.
Solução 1
(A partir da 2ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)
Vamos supor que a massa total [tex]q[/tex] desse queijo cremoso seja composta por uma parte sólida [tex]s[/tex] e por uma parte de água [tex]a[/tex]; assim, [tex]q=s+a\,.[/tex]
O rótulo da embalagem do queijo traz duas informações com relação à massa de gordura [tex]g[/tex] presente no queijo:
- o queijo contém [tex]24\%[/tex] de gordura: [tex]0,24q=g[/tex];
- [tex]64\%[/tex] da parte sólida é gordura: [tex]0,64s=g[/tex].
Assim, segue que:
[tex]\qquad 0,24q=0,64s\\
\qquad 0,24\left(s+a\right)=0,64s\\
\qquad 0,24s+0,24a=0,64s\\
\qquad 0,24a=0,64s-0,24s\\
\qquad 0,24a=0,4s\\
\qquad 24a=40s\\
\qquad a=\dfrac{40}{24}s\\
\qquad \boxed{a=\dfrac{5}{3}s}\,.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Com isso, temos que:
[tex]\qquad q=s+a\\
\qquad q=s+\dfrac{5}{3}s\\
\qquad \boxed{q=\dfrac{8}{3}s}\,.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Usando [tex]\textcolor{#800000}{(i)}\,[/tex] e [tex]\,\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], podemos calcular a porcentagem de água relativa à massa total do queijo com a ajuda de uma regrinha de três simples:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\; q & \text{————–} & 100\% \\
\; a & \text{————–} & x\% \end{array}[/tex]
[tex]\,\\
\qquad x=100\cdot \dfrac{a}{q}\\
\qquad x=100\cdot \dfrac{\;\frac{5}{3}s\;}{\;\frac{8}{3}s\;}=100\cdot \dfrac{\;\frac{5}{3}\cancel{s}\;}{\;\frac{8}{3}\cancel{s}\;}=100\cdot \dfrac{\;\frac{5}{\bcancel{3}}\;}{\;\frac{8}{\bcancel{3}}\;}\\
\qquad x=100\cdot \dfrac{5}{8}\\
\qquad x=100\cdot 0,625\\
\qquad x=62,5\,.[/tex]
Portanto, a porcentagem de água no queijo é de [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$62,5\%$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
(A partir do 9º ano do E. M.- Nível de dificuldade: Difícil)
Vamos fazer uma solução menos algébrica e, digamos, mais "percentual".
Embora precisemos calcular a porcentagem de água no queijo, vamos calcular inicialmente a porcentagem do queijo correspondente à parte sólida, já que os dados do problema envolvem a massa de gordura do queijo e essa gordura está concentrada na parte sólida.
Suponhamos que a massa total do queijo seja [tex]q[/tex], que a massa da parte sólida seja [tex]s[/tex] e que a massa de gordura presente no queijo seja [tex]g[/tex]; assim:
- o queijo contém [tex]24\%[/tex] de gordura: [tex]24\%\,q=g[/tex];
- [tex]64\%[/tex] da parte sólida é gordura: [tex]64\%\,s=g[/tex].
Suponhamos que [tex]z\%[/tex] da massa total do queijo corresponda à parte sólida: [tex]z\%\,q=s[/tex].
Com isso, segue que:
[tex]\qquad 64\%\,s=g\\
\qquad 64\%\left(z\%\,q\right)=g\\
\qquad 64\%\,z\%\,q=24\%\,q\\
\qquad 64\%\,z\%=24\%\\
\qquad \boxed{z\%=37,5\%}\,.[/tex]
Assim, se a porcentagem da massa total do queijo correspondente à parte sólida é de [tex]37,5\%[/tex], então a porcentagem de água no queijo é de [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$100\%-37,5\%=62,5\%$}\,.[/tex]
Observação: Se você ficou com dúvidas na obtenção do valor [tex]\boxed{z\%=37,5\%}[/tex], acompanhe a sequência completa dos cálculos e lembre-se de que [tex]\fcolorbox{black}{#d4ccbe}{$1\%=\dfrac{1}{100}=0,01$}\,[/tex]:
[tex]\qquad 64\%\,s=g\\
\qquad 64\%\left(z\%\,q\right)=g\\
\qquad 64\%\,z\%\,q=24\%\,q\\
\qquad 64\%\,z\%\,\cancel{q}=24\%\,\cancel{q}\\
\qquad 64\%\,z\%=24\%\\
\qquad \dfrac{64}{100}\,z\%=\dfrac{24}{100}\\
\qquad \dfrac{64}{\cancel{100}}\,z\%=\dfrac{24}{\cancel{100}}\\
\qquad 64\,z\%=24\\
\qquad z\%=\dfrac{24}{64}=0,375=\dfrac{37,5}{100}\\
\qquad \boxed{z\%=37,5\%}\,.[/tex]
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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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Se for conveniente, você pode obter um arquivo PDF desta página, com o problema e a solução, clicando no botão abaixo. |
Um applet para ilustrar
Você pode utilizar o applet abaixo para visualizar o problema e a sua solução.
No aplicativo, representamos o queijo por um círculo e destacamos as suas duas partes: a sólida e a líquida. Na parte sólida, destacamos com pontinhos vermelhos um setor circular fixo para representar a quantidade total de gordura do queijo e indicamos o percentual da parte sólida que o setor representa.
Os tamanhos dos setores circulares que representam as partes sólida e líquida podem ser modificados, de modo que a porcentagem de [tex]64\%[/tex] correspondente à parte sólida que é gordura seja obtida.
Na janela inicial do aplicativo, vemos a situação na qual a gordura total do queijo corresponde a [tex]48\%[/tex] de sua parte sólida, o que acarreta uma porcentagem de [tex]50\%[/tex] de água no queijo. Mas você pode utilizar o ponto vermelho [tex]\color{red}{P}[/tex] que aparece no applet para modificar os tamanhos das partes sólida e líquida do queijo e transformar a porcentagem de [tex]48\%[/tex] no percentual de [tex]64\%[/tex] definido no problema.
A cada movimento do ponto [tex]\color{red}{P}[/tex], o aplicativo mostrará imediatamente o valor da porcentagem de água contida no queijo correspondente à porcentagem definida pelo movimento.
Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para movimentar o ponto [tex]\color{red}{P}[/tex], clique sobre ele com qualquer botão do mouse, mantenha o botão pressionado e faça o movimento lentamente. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto [tex]\color{red}{P}[/tex] e movimente-o.)
(3) Você poderá fazer um movimento “mais fino” do ponto [tex]\color{red}{P}[/tex] utilizando seu teclado. Para isso, clique sobre [tex]\color{red}{P}[/tex] com qualquer botão do mouse. Em seguida, mantenha a tecla Shift do teclado apertada e faça os movimentos utilizando as teclas “mover para cima” e “mover para baixo”.
Observações:
(1) O GeoGebra utiliza ponto e não vírgula como separador decimal.
(2) O GeoGebra trabalha com arredondamentos.
(3) A visualização de várias situações particulares de um fato matemático no GeoGebra não substitui sua demonstração.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra