.Problema para ajudar na escola: Um balão preso

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)

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Um balão está preso ao solo por dois cabos de aço em dois pontos que se distanciam entre si de $60$ metros. Os dois cabos estão completamente esticados, sendo que o cabo mais curto mede $80\text{ m}$ e o ângulo que o outro cabo faz com o solo mede $30^\circ.$

Imagem do balão extraída de Freepik

(a) Qual o comprimento do cabo mais longo?
(b) No momento descrito pelos dados, a que altura o balão está do solo?

Solução

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A partir dos dados do problema, definimos o triângulo $ABC\,$ e traçamos o segmento $AD$, ortogonal ao segmento $CB$, conforme mostra a figura a seguir.
Denotamos por $h\,$ o comprimento em metros do segmento $AD$ – altura em que se encontra o balão – e por $x\,$ o comprimento em metros do segmento $BD$ – distância entre o pé da perpendicular e o ponto do solo no qual está preso o cabo mais curto.

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo $ABD$, obtemos que
$\qquad x^2+h^2=80^2.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
Por outro lado, olhando o triângulo $ADC$, observamos que $tg\,30^\circ=\dfrac{h}{60+x}$ e, portanto, segue que:
$\qquad \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{h}{60+x}\\ \qquad h=\left(60+x\right)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$
Dessa forma, substituindo $\textcolor{#800000}{(ii)}$ em $\textcolor{#800000}{(i)}$ segue que:
$\qquad x^2+\left(\left(60+x\right)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=80^2\\ \qquad x^2+\left(60+x\right)^2\cdot \dfrac{3}{9}=6400 \\ \qquad x^2+\left(3600+120x+x^2\right)\cdot \dfrac{1}{3}=6400 \\ \qquad 3x^2+\left(3600+120x+x^2\right)=3\cdot 6400 \\ \qquad 4x^2+3600+120x=19200 \\ \qquad 4x^2+120x-15600=0.$
Dividindo a última igualdade por $4$ ficamos com a equação $\boxed{x^2+30x-3900=0}$ cujas raízes são dadas por:
$\qquad x=\dfrac{-30\pm\sqrt{900+15600}}{2}\\ \qquad x=\dfrac{-30\pm\sqrt{16500}}{2}\\ \qquad x_1=\dfrac{-30+\sqrt{16500}}{2} \;\text{ e } \; x_2=\dfrac{-30-\sqrt{16500}}{2}.\\$
Vemos que $x_2 \lt 0$; logo, essa raiz não pode ser solução do problema, já que estamos procurando um comprimento e, portanto, um valor positivo.
Então,
$\qquad x=\dfrac{-30+\sqrt{16500}}{2}\approx 49,23\text{ m}$
e, consequentemente, por $\textcolor{#800000}{(ii)}$:
$\qquad h=\left(60+x\right)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \qquad h\approx\left(60+ 49,23\right)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \qquad h\approx\left(109,23\right)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \qquad h\approx 63,06\text{ m}.$
A partir do triângulo $ADC$, mostrado na figura a seguir com as medidas que acabamos de calcular, já temos condições de responder os dois itens do problema.

(a) Para calcularmos o comprimento do cabo mais longo, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo $ADC$, lembrando que estamos trabalhando com medidas aproximadas.
Assim, se $z$ é a medida em metros do cabo mais longo, então o comprimento do segmento $AC$ é $z$ e, com isso:
$\qquad z^2\approx 109,23^2+63,06^2\\ \qquad z^2\approx 15907,76\\ \qquad z\approx 126,13\,.$
Pelo exposto, o comprimento do cabo mais longo é aproximadamente $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$126,13 \text{ m}$}\,.$

(b) Observamos diretamente na figura acima que, no momento descrito pelos dados, o balão está a uma altura do solo de aproximadamente $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$63,06 \text{ m}$}\,.$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.