Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
O cadeado com segredo mostrado na figura possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de [tex]0[/tex] a [tex]9[/tex].
Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplos: [tex] 237[/tex], [tex]366[/tex], [tex]593\cdots[/tex])
[tex]\textcolor{#800000}{a)}[/tex] Quantas possibilidades diferentes existem para a escolha do segredo, sabendo que o dígito [tex]3[/tex] deve aparecer obrigatoriamente e uma única vez?
[tex]\textcolor{#800000}{b)}[/tex] Qual é a probabilidade de se escolher um segredo no qual todos os dígitos são distintos e o dígito [tex]3[/tex] aparece obrigatoriamente?
(UFPR, 2010 – 2ª Fase.)
Ajuda
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para três eventos:
Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
- um evento E3 puder ocorrer de [tex]m_3 \, [/tex] maneiras,
e todos esses eventos forem independentes entre si (isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro), então a quantidade de maneiras em que os três eventos ocorrem ao mesmo tempo (E1 e E2 e E3) é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_3} \,.[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
✏ Princípio Aditivo, para três eventos: Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
- um evento E3 puder ocorrer de [tex]m_3 [/tex] maneiras,
e esses eventos forem independentes entre si (isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro), então a quantidade de maneiras em que ocorre um dos três eventos (E1 ou E2 ou E3) é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1+ m_2 + m_3 }\, .[/tex]
Solução
[tex]\textcolor{#800000}{a)}[/tex] Como temos três engrenagens e o dígito [tex]3[/tex] deve aparecer obrigatoriamente e uma única vez, teremos três casos a considerar para o segredo do cadeado:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1^{\underline{a}} & 2^{\underline{a}} & 3^{\underline{a}} \\ \hline
3 & & \\ \hline
\end{array}[/tex]
Neste caso, para a [tex]2^{\underline{a}}[/tex] e [tex]3^{\underline{a}}[/tex] engrenagens podemos usar os dígitos [tex]0,1,2,4,5,6,7,8[/tex] e [tex]9[/tex], ou seja, temos [tex]9[/tex] possibilidades para cada engrenagem. Pelo Princípio Multiplicativo temos [tex]\boxed{1\cdot 9\cdot 9=81}[/tex] segredos.
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] O dígito [tex]3[/tex] aparece na segunda engrenagem:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1^{\underline{a}} & 2^{\underline{a}} & 3^{\underline{a}} \\ \hline
& 3 & \\ \hline
\end{array}[/tex]
Da mesma maneira, para a [tex]1^{\underline{a}}[/tex] e [tex]3^{\underline{a}}[/tex] engrenagens podemos usar os dígitos [tex]0,1,2,4,5,6,7,8[/tex] e [tex]9[/tex], ou seja, temos [tex]9[/tex] possibilidades para cada engrenagem. Pelo Princípio Multiplicativo temos [tex]\boxed{ 9\cdot 1\cdot 9=81}[/tex] segredos.
[tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] O dígito [tex]3[/tex] aparece na terceira engrenagem:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1^{\underline{a}} & 2^{\underline{a}} & 3^{\underline{a}} \\ \hline
& &3 \\ \hline
\end{array}[/tex]
Como nos casos [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], para a [tex]1^{\underline{a}}[/tex] e [tex]2^{\underline{a}}[/tex] engrenagens podemos usar os dígitos [tex]0,1,2,4,5,6,7,8[/tex] e [tex]9[/tex], ou seja, temos [tex]9[/tex] possibilidades para cada engrenagem. Pelo Princípio Multiplicativo temos [tex]\boxed{9\cdot 9\cdot 1=81}[/tex] segredos.
Finalmente, pelo Princípio Aditivo temos [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$81+81+81=243$}\,[/tex] possibilidades diferentes para a escolha do segredo, com o dígito [tex]3[/tex] aparecendo obrigatoriamente uma única vez.
[tex]\textcolor{#800000}{b)}[/tex] Como queremos calcular a probabilidade de escolher um segredo no qual todos os dígitos são distintos e o dígito [tex]3[/tex] aparece obrigatoriamente, devemos calcular a quantidade de segredos com essas condições e dividir esse valor pelo total de segredos possíveis. (Para relembrar um pouco sobre Probabilidade, dê uma passadinha nesta sala)
- Primeiro, vamos calcular o total de segredos. Neste caso, para cada engrenagem temos [tex]10[/tex] possibilidades para os dígitos, ou seja, [tex]\,\fcolorbox{black}{#cedce9}{$10\cdot 10 \cdot 10=1000$}[/tex] segredos.
- Agora, além de o dígito [tex]3[/tex] aparecer obrigatoriamente, os outros dois dígitos devem ser diferentes entre si e do [tex]3[/tex]. Assim, novamente temos três casos a considerar:
[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] [tex]\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1^{a} & 2^{a} & 3^{a} \\ \hline
3 & & \\ \hline
\end{array}[/tex]
Neste caso, para a [tex]2^{a}[/tex] engrenagem podemos utilizar nove dígitos e para a [tex]3^{a}[/tex] podemos usar oito dígitos. Pelo Princípio Multiplicativo temos [tex]\boxed{1\cdot 9\cdot 8=72}[/tex] segredos.
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] [tex]\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1^{a} & 2^{a} & 3^{a} \\ \hline
&3 & \\ \hline
\end{array}[/tex]
Da mesma maneira, para a [tex]1^{a}[/tex] engrenagem podemos utilizar nove dígitos e para a [tex]3^{a}[/tex] podemos usar oito dígitos. Pelo Princípio Multiplicativo temos [tex]\boxed{ 9\cdot 1\cdot 8=72}[/tex] segredos.
[tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] [tex]\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1^{a} & 2^{a} & 3^{a} \\ \hline
& &3 \\ \hline
\end{array}[/tex]
Como nos casos anteriores, para a [tex]1^{a}[/tex] engrenagem podemos utilizar nove dígitos e para a [tex]2^{a}[/tex] podemos usar oito dígitos. Pelo Princípio Multiplicativo temos [tex]\boxed{9\cdot 8\cdot 1=72}[/tex] segredos.
Assim, pelo Princípio Aditivo temos [tex]\,\fcolorbox{black}{#cedce9}{$72+72+72=216$}[/tex] segredos com três dígitos distintos e o [tex]3[/tex] aparecendo obrigatoriamente.
Portanto, a probabilidade, [tex]P[/tex], desejada é dada por [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P=\dfrac{216}{1000}=0,216$}\,[/tex] ou [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P=21,6\%$}\,.[/tex]
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