.Problema para ajudar na escola: O 2020º número de uma sequência

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Difícil)

• $00$ entre os algarismos centrais $2$ e $6$

e

• $26$ entre os algarismos centrais $0$ e $0$.

Reveja os primeiros termos da sequência:

Calcule a soma de todos os algarismos do $2020^\circ$ número dessa sequência.

Adaptado da IX Olimpíada Regional de Matemática Santa Catarina, 2006.

Solução

• O primeiro termo é o $26$ e a soma de seus algarismos é $8$.
• O segundo termo é o $2\textcolor{red}{00}6$ e a soma de seus algarismos é também $8$.
• O terceiro termo é o $2\textcolor{red}{0}\textcolor{#3BB9FF}{26}\textcolor{red}{0}6$ e a soma de seus algarismos é $8+\textcolor{#3BB9FF}{(2+6)}=16=2\times 8$.
• O quarto termo é o $20\textcolor{#3BB9FF}{2}\textcolor{red}{00}\textcolor{#3BB9FF}{6}06$ e a soma de seus algarismos é também $16$.
• O quinto termo é o $202\textcolor{red}{0}\textcolor{#3BB9FF}{26}\textcolor{red}{0}606$ e a soma de seus algarismos é $16+\textcolor{#3BB9FF}{(2+6)}=24=3\times 8$.
• O sexto termo é o $2020\textcolor{#3BB9FF}{2}\textcolor{red}{00}\textcolor{#3BB9FF}{6}0606$ e a soma de seus algarismos é também $24$.
• O sétimo termo é o $20202\textcolor{red}{0}\textcolor{#3BB9FF}{26}\textcolor{red}{0}60606$ e a soma de seus algarismos é $24+\textcolor{#3BB9FF}{(2+6)}=32=4\times 8$.
• O oitavo termo é o $202020\textcolor{#3BB9FF}{2}\textcolor{red}{00}\textcolor{#3BB9FF}{6}060606$ e a soma de seus algarismos é também $32$.

Uma tabela talvez possa ajudar na visualização dos padrões:

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Termos}&\text{Soma dos algarismos}\\ \hline 1^\circ \text{ termo}&26 & 1\times 8\\ \hline 2^\circ \text{ termo}&2\textcolor{red}{00}6 & 1 \times 8\\ \hline 3^\circ \text{ termo}&20\textcolor{#3BB9FF}{26}06 & 2\times 8\\ \hline 4^\circ \text{ termo}&202\textcolor{red}{00}606 & 2\times 8\\ \hline 5^\circ \text{ termo}&2020\textcolor{#3BB9FF}{26}0606 & 3\times 8\\ \hline 6^\circ \text{ termo}&20202\textcolor{red}{00}60606 & 3\times 8\\ \hline 7^\circ \text{ termo}&202020\textcolor{#3BB9FF}{26}060606 & 4\times 8\\ \hline 8^\circ \text{ termo}&2020202\textcolor{red}{00}6060606 & 4\times 8\\ \hline \vdots&\vdots&\vdots \end{array}$

Perceba que:

• Os termos de ordem par são formados a partir de seus respectivos antecessores imediatos de ordem ímpar, acrescentando os algarismos $\textcolor{red}{00}$. Assim, a soma dos algarismos de cada termo de ordem par é a mesma soma dos algarismos do termo de ordem ímpar que o precede imediatamente.
• A partir do terceiro termo, os termos de ordem ímpar são formados a partir de seus respectivos antecessores imediatos de ordem par, acrescentando-se os algarismos $\textcolor{#3BB9FF}{26}$.
  Logo, a soma dos algarismos de cada termo de ordem ímpar, a partir do terceiro termo, é a soma dos algarismos do termo de ordem par que o antecede imediatamente, acrescida de $2+6=8$.

Dessa forma, se denotarmos por
$\qquad \left(a_n\right)=\left(26,2006,202606,20200606,2020260606,\cdots\right)$
a sequência original, e por
$\qquad \left(s_n\right)=\left(8,8,16,16,24,24,32,32,\cdots\right)$
a sequência formada pela soma dos algarismos dos respectivos termos de $\left(a_n\right)$, podemos verificar que:
$\qquad s_{2n}=s_{2n-1}=8n$, para todo $n \in \{1,2,3,4,\cdots\}$.
Veja alguns exemplos:

• Para $n=1$, $\boxed{s_{2}=s_{1}=8}$.
• Para $n=2$, $\boxed{s_{4}=s_{3}=16}$.
• Para $n=3$, $\boxed{s_{6}=s_{5}=24}$.
• Para $n=4$, $\boxed{s_{8}=s_{7}=32}$.
• Para $n=5$, $\boxed{s_{10}=s_{9}=40}$.

Com isso, temos que:
$\qquad s_{2020}=s_{2 \times 1010}=s_{2 \times 1010-1}=8 \times 1010=8080$
e, portanto, a soma de todos os algarismos do $2020^\circ$ número da sequência definida no problema é $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$8080$}\,.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.