Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
(PROFMAT, 2016 – Adaptado) Ao escrever um número natural de dois algarismos, Vera percebeu que a diferença entre esse número e outro escrito com os mesmos algarismos, mas em ordem inversa, era [tex]63[/tex].
Sabendo que a soma dos dois algarismos que formam os números é igual a [tex]11[/tex], tente descobrir qual foi o número escrito por Vera.
Solução
Vamos denotar o número que Vera escreveu por [tex]N[/tex] e vamos supor que a representação de [tex]N[/tex] na forma decimal seja [tex]N=ab=10\cdot a+b[/tex], com [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] algarismos, ou seja, números naturais tais que [tex]0 \leqslant a \leqslant 9[/tex], com [tex]a\ne 0[/tex], pois [tex]N[/tex] tem dois algarismos.
Assim, se [tex]I[/tex] denotar o número obtido pela inversão dos algarismos de [tex]N[/tex], então a forma decimal de [tex]I[/tex] será [tex]I=ba=10\cdot b+a[/tex].
(Observe que, aqui, as notações [tex]ab[/tex] e [tex]ba[/tex] não indicam produtos e sim representações de dois números naturais no sistema decimal. Assim, por exemplo, na representação [tex]ab[/tex], [tex]a[/tex] é o algarismo das dezenas e [tex]b[/tex] é o algarismo das unidades.)
Pela primeira informação do problema, temos que [tex]N-I=63[/tex]; logo, segue que:
[tex]\qquad \left(10\cdot a+b\right)-\left(10\cdot b+a\right)=63[/tex]
[tex]\qquad 10\cdot a+b-10\cdot b-a=63[/tex]
[tex]\qquad \left(10\cdot a-a\right)+\left(b-10\cdot b\right)=63[/tex]
[tex]\qquad 9\cdot a-9\cdot b=63[/tex]
[tex]\qquad a-b=7[/tex].
Como a soma dos dois algarismos que formam os dois números é [tex]11[/tex], ficamos com um sistema com duas equações:
[tex]\qquad \begin{cases}
a+b=11\\
a-b=7\quad
\end{cases}[/tex].
Somando as duas equações do sistema, obtemos [tex]2\cdot a=18[/tex], donde [tex]\boxed{a=9}[/tex]. Substituindo esse valor em qualquer uma das duas equações que compõem o sistema, chegamos a [tex]\boxed{b=2}[/tex].
Dessa forma, o número escrito por Vera foi [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 92$}\,[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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