Problema
(A partir do 1º ano do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)
(ONEM, 2011) Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] números reais, distintos dois a dois, tais que
[tex]\qquad\qquad a=\sqrt[3]{1-4b-4c}[/tex] ,
[tex]\qquad\qquad b=\sqrt[3]{1-4c-4a}[/tex] ,
[tex]\qquad \qquad c=\sqrt[3]{1-4a-4b}[/tex] .
Determinar o valor da soma [tex]\,\,\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}[/tex].
AJUDA
✏ As Relações de Girard para uma equação cúbica da forma [tex]\boxed{x^3+kx^2+ lx+m=0}[/tex] garantem que, se considerarmos que [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex] e [tex]x_3[/tex] são as raízes dessa equação, então:
[tex]\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] [tex]x_1+x_2+x_3=-k [/tex];
[tex]\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] [tex] x_1\cdot x_2+ x_1\cdot x_3+ x_2\cdot x_3=l [/tex];
[tex]\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iiii)}[/tex] [tex] x_1\cdot x_2\cdot x_3=-m[/tex].
✏ Se [tex]A\,[/tex] e [tex]\,B[/tex] são números reais, então:
[tex]\qquad \qquad A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A^2+AB+B^2\right)[/tex].
Solução
Das duas primeiras igualdades dadas no problema segue que:
[tex]\qquad\qquad a^3=1-4b-4c\qquad [/tex] e [tex]\qquad b^3=1-4c-4a[/tex],
donde
[tex]\qquad\qquad a^3 – b^3=\left(1-4b-4c\right)-\left(1-4c-4a\right)[/tex]
[tex]\qquad\qquad a^3 – b^3=1-4b-4c-1+4c+4a[/tex]
[tex]\qquad\qquad a^3 – b^3=4\left(a-b \right)[/tex].
Utilizando a segunda AJUDA, prosseguimos um pouco mais:
[tex]\qquad\qquad \left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=4\left(a-b \right)[/tex].
[tex]\qquad\qquad \left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-4\left(a-b \right)=0[/tex].
[tex]\qquad\qquad \left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2-4\right)=0\,. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como por hipótese [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números reais distintos dois a dois, particularmente, [tex]a-b\ne 0[/tex]. Logo, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que:
[tex]\qquad\qquad \boxed{a^2+ab+b^2-4=0}\,. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Vamos repetir os mesmos passos partindo, agora, da segunda e da terceira equações dadas no problema. Iniciando, temos que:
[tex]\qquad\qquad b^3=1-4c-4a\qquad [/tex] e [tex]\qquad c^3=1-4a-4b[/tex],
donde
[tex]\qquad\qquad b^3 – c^3=\left(1-4c-4a\right)-\left(1-4a-4b\right)[/tex]
[tex]\qquad\qquad b^3 – c^3=1-4c-4a-1+4a+4b[/tex]
[tex]\qquad\qquad b^3 – c^3=4\left(b-c \right)[/tex].
Utilizando a segunda AJUDA, prosseguimos um pouco mais:
[tex]\qquad\qquad \left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)=4\left(b-c \right)[/tex].
[tex]\qquad\qquad \left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)-4\left(b-c \right)=0[/tex].
[tex]\qquad\qquad \left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2-4\right)=0\,. \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Como [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números reais distintos, [tex]b-c\ne 0[/tex]. Logo, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] que:
[tex]\qquad\qquad \boxed{b^2+bc+c^2-4=0}\,. \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Agora, fazendo a diferença entre as igualdades [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], obtemos que:
[tex]\quad\qquad a^2+ab+b^2-4-\left(b^2+bc+c^2-4 \right)=0[/tex]
[tex]\quad\qquad a^2+ab+b^2-4-b^2-bc-c^2+4=0[/tex]
[tex]\quad\qquad a^2+ab-bc-c^2=0[/tex]
[tex]\quad\qquad a^2+ab-bc-c^2+(ac-ac)=0[/tex]
[tex]\quad\qquad a^2+ab+ac-ac-bc-c^2=0[/tex]
[tex]\quad\qquad a\left(a+b+c\right)-c\left(a+b+c\right)=0[/tex]
[tex]\quad\qquad \left(a-c\right)\left(a+b+c\right)=0\,. \qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
Como [tex]a[/tex] e [tex]c[/tex] são números reais distintos, [tex]a-c\ne 0[/tex], donde concluímos de [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] que [tex]\fcolorbox{red}{#ffffff}{$ a+b+c=0$}[/tex].
Utilizando a relação [tex]\fcolorbox{red}{#ffffff}{$ a+b+c=0$}[/tex] nas igualdades [tex]\boxed{a^3=1-4b-4c}\,[/tex], [tex]\,\boxed{b^3=1-4c-4a}\,[/tex] e [tex]\, \boxed{c^3=1-4a-4b}[/tex] obtemos que:
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[tex]\qquad a^3=1-4\left(b+c\right) [/tex] [tex]\qquad a^3=1+4a [/tex] [tex]\qquad a^3-4a-1=0 [/tex] |
[tex]\qquad b^3=1-4\left(c+a\right) [/tex] [tex]\qquad b^3=1+4b [/tex] [tex]\qquad b^3-4b-1=0 [/tex] |
[tex]\qquad c^3=1-4\left(a+b\right) [/tex] [tex]\qquad c^3=1+4c [/tex] [tex]\qquad c^3-4c-1=0 [/tex] |
As últimas igualdades de cada um dos três casos nos mostram que os números reais [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são raízes duas a duas distintas da equação [tex]X^3-4X-1=0.[/tex]
Assim, pelas Relações de Girard para equações cúbicas, temos que:
[tex] \qquad \qquad ab+ ac+ bc=-4 \quad [/tex] e [tex] \qquad abc=1[/tex],
donde, finalmente, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=\dfrac{ab+ac+bc}{abc}=\dfrac{-4}{1}[/tex],
ou seja, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=-4$}\,.[/tex]
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