Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)
(ONEM, 2005 – Adaptado) Seja [tex]x[/tex] um número real maior do que [tex] 1[/tex].
Determine o número natural não nulo [tex]n[/tex] tal que
[tex] \sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{x}}}{x}}}{x}}=\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{\left(\dfrac{1}{x}\right)^n}}}[/tex].
Lembretes
São bem conhecidas as seguintes definições envolvendo potências e radicais:
► Potência de expoente inteiro negativo: Se [tex]a[/tex] é um número real não nulo e [tex]n[/tex] é um número natural, então a potência [tex]a^{-n}[/tex] é assim definida:
[tex]\qquad \qquad a^{\color{red}{-n}}=\dfrac{1}{a^{\color{red}{n}}}\,[/tex].
► Potência de expoente racional: Se [tex]a[/tex] é um número real positivo, [tex]n[/tex] é um número natural não nulo e [tex]m[/tex] é um número inteiro, então:
[tex]\qquad \qquad a^\frac{\color{blue}{m}}{\color{red}{n}}=\sqrt[\color{red}{n}]{a^{\color{blue}{m}}}\,[/tex].
As propriedades de potências e raízes nos permitem estender essas duas definições para expoentes não necessariamente inteiros.
(1) Potência de expoente negativo: Se [tex]a[/tex] é um número real não nulo e [tex]n[/tex] é um número racional positivo, então:
[tex]\qquad \qquad a^{\color{red}{-n}}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{\color{red}{n}}=\dfrac{1}{a^{\color{red}{n}}}[/tex]
(2) Potência de expoente racional: Se [tex]a[/tex] é um número real positivo, [tex]n[/tex] é um número natural não nulo e [tex]m[/tex] é um número racional, então:
[tex]\qquad \qquad \sqrt[\color{red}{n}]{a^{\color{blue}{m}}}=a^\frac{\color{blue}{m}}{\color{red}{n}}[/tex]
Podemos estender as propriedades de potências e raízes com expoentes inteiros para potências e raízes com expoentes racionais.
Particularmente nos interessam duas propriedades:
(3) Quociente de potências com a mesma base: Se [tex]a[/tex] é um número real positivo e [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] são números racionais, então:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{a^{\color{blue}{m}}}{a^{\color{red}{n}}}=a^{{\color{blue}{m}}-{\color{red}{n}}}[/tex]
(4) Potência de potência: Se [tex]a[/tex] é um número real positivo e [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] são números racionais, então:
[tex]\qquad \qquad \left(a^{\color{red}{n}}\right)^{\color{blue}{m}}=a^{\textcolor{red}{n} \,\cdot \,\color{blue}{m}}[/tex]
(5) Igualdade de potências de mesma base: Se [tex]a[/tex] é um número real positivo e diferente de [tex]1[/tex] e [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] são números reais, então:
[tex]\qquad \qquad a^n=a^m \iff m=n[/tex]
Solução
Para facilitar a aplicação dos Lembretes, vamos simplificar separadamente cada um dos lados da igualdade apresentada no problema.
Veja que
[tex] \qquad \boxed{\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{x}}}{x}}}{x}}}=\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x^1}}}}{x}}}{x}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(1)}}{=}\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{\textcolor{red}{x^{-1}}}}{x}}}{x}}=[/tex]
[tex] \qquad=\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{\textcolor{#C72EE2}{\sqrt[2]{x^{-1}}}}{x}}}{x}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(2)}}{=}\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{\textcolor{#C72EE2}{x^{\frac{-1}{2}}}}{x}}}{x}}=\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{\textcolor{#42BA0D}{\dfrac{x^{\frac{-1}{2}}}{x}}}}{x}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(3)}}{=}\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{\textcolor{#42BA0D}{x^{\frac{-1}{2}-1}}}}{x}}[/tex]
[tex] \qquad=\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{\textcolor{#42BA0D}{x^{-\frac{3}{2}}}}}{x}}=\sqrt[4]{\dfrac{\textcolor{#FF00FF}{\sqrt[3]{x^{-\frac{3}{2}}}}}{x}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(2)}}{=}\sqrt[4]{\dfrac{\textcolor{#FF00FF}{x^{\frac{-\frac{3}{2}}{3}}}}{x}}=\sqrt[4]{\dfrac{\textcolor{#FF00FF}{x^{-\frac{1}{2}}}}{x}}=[/tex]
[tex] \qquad=\sqrt[4]{\textcolor{#F87217}{\dfrac{x^{-\frac{1}{2}}}{x^{1}}}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(3)}}{=}\sqrt[4]{\textcolor{#F87217}{x^{-\frac{1}{2}-1}}}=\sqrt[4]{x^{-\frac{3}{2}}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(2)}}{=}x^{\frac{-\frac{3}{2}}{4}}=\boxed{x^{-\frac{3}{8}}}[/tex]
e
[tex] \qquad \qquad \boxed{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{\left(\dfrac{1}{x}\right)^n}}}}=\sqrt{\sqrt[3]{\textcolor{red}{\sqrt[4]{\left(\dfrac{1}{x}\right)^n}}}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(2)}}{=}\sqrt{\sqrt[3]{\textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{n}{4}}}}}=[/tex]
[tex] \qquad=\sqrt{\textcolor{#169DF7}{\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{n}{4}}}}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(2)}}{=}\sqrt{\textcolor{#169DF7}{\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{\frac{n}{4}}{3}}}}=\sqrt{\textcolor{#169DF7}{\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{n}{12}}}}[/tex]
[tex] \qquad=\sqrt[2]{\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{n}{12}}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(2)}}{=}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{\frac{n}{12}}{2}}=[/tex]
[tex] \qquad=\left(\dfrac{1}{x^1}\right)^{\frac{n}{24}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(1)}}{=}\left(x^{-1}\right)^{\frac{n}{24}}\stackrel{\textcolor{#800000}{(4)}}{=}\boxed{x^{-\frac{n}{24}}}[/tex].
Dessa forma, como
[tex] \qquad \sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{x}}}{x}}}{x}}=\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{\left(\dfrac{1}{x}\right)^n}}}\,\,[/tex],
segue que:
[tex] \qquad x^{-\frac{3}{8}}= x^{-\frac{n}{24}}[/tex].
Mas sabemos que [tex]x[/tex] é um número real maior do que [tex] 1[/tex], logo, utilizando o Lembrete (5), segue dessa última igualdade que :
[tex]\qquad \qquad -\dfrac{3}{8}=-\dfrac{n}{24}\\
\qquad \qquad \dfrac{3}{8}=\dfrac{n}{24}\\
\qquad \qquad n= 24 \cdot \dfrac{3}{8}\\
\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=9 $}\,.[/tex]
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