Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Encontre todos os inteiros positivos [tex]m, n[/tex], com [tex]n[/tex] ímpar, tais que [tex]\boxed{\dfrac{1}{m}+\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{12}}.[/tex]
Extraído de Problems and solutions from Mathematical Olympiads.
Solução 1
Sejam [tex]m, n[/tex] inteiros positivos tais que [tex]\dfrac{1}{m}+\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{12}.[/tex] Assim, vem que:
[tex]\qquad 12n+48m=mn \\
\qquad mn-12n=48m \\
\qquad n=\dfrac{48m}{m-12}\\
\qquad n=\dfrac{48m-576+576}{m-12} \\
\qquad n=\dfrac{48(m-12)+576}{m-12} \\
\qquad n=48+\dfrac{576}{m-12} .\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como [tex]n[/tex] é ímpar, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que [tex]\dfrac{576}{m-12}[/tex] é ímpar (Caso contrário, teríamos que [tex]n[/tex] é par, já que a soma de dois pares é um número par.). Fatorando o número [tex]576[/tex], obtemos [tex]576=2^{6}\times 3^{2}[/tex]; com isso, temos que [tex]\dfrac{576}{m-12}[/tex] é igual a [tex]1[/tex], [tex]3[/tex] ou [tex]9[/tex].
Vamos analisar as três alternativas.
- De [tex]\dfrac{576}{m-12} = 1[/tex] segue que [tex]m-12= 576[/tex], donde [tex]\boxed{m=588}.[/tex]
- De [tex]\dfrac{576}{m-12} = 3[/tex] segue que [tex]3m-36= 576[/tex], donde [tex]\boxed{m=204}.[/tex]
- De [tex]\dfrac{576}{m-12} = 9[/tex] segue que [tex]9m-108= 576[/tex], donde [tex]\boxed{m=76}.[/tex]
Assim, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], temos que [tex]n=48+\dfrac{576}{588-12}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{n=49}.[/tex]
Assim, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], temos que [tex]n=48+\dfrac{576}{204-12}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{n=51}.[/tex]
Assim, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], temos que [tex]n=48+\dfrac{576}{76-12}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{n=57}.[/tex]
Portanto, os pares ordenados [tex](m,n)[/tex] que satisfazem as condições do problema são: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(76,57)$}[/tex], [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(204,51)$}[/tex] e [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(588,49)$}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Podemos reescrever a equação do problema como:
[tex]\qquad \qquad 12n+48m=mn.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(1)}[/tex]
Sendo [tex]m[/tex] e [tex] n[/tex] inteiros positivos, concluímos que as parcelas [tex]12n[/tex] e [tex]48m[/tex] são múltiplas de [tex]4[/tex] e, desse modo, [tex]mn[/tex] também é múltiplo de [tex]4[/tex]. Mas, sendo [tex]n[/tex] ímpar e [tex]4=2^2[/tex], temos que [tex]mdc(4,n)=1[/tex]; assim, a única maneira do produto [tex]mn[/tex] ser um múltiplo de [tex]4[/tex] é [tex]m[/tex] ser múltiplo de [tex]4[/tex]. Assim, existe um número inteiro positivo [tex]t[/tex] tal que:
[tex]\qquad \qquad m=4t.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(2)}[/tex]
Substituindo [tex] \textcolor{#800000}{(2)}[/tex] em [tex] \textcolor{#800000}{(1)}[/tex] obtemos que:
[tex]\qquad\qquad 12n+48\cdot 4t=4t\cdot n[/tex]
[tex]\qquad\qquad 3n+48t=tn \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(3)}[/tex]
[tex]\qquad\qquad 48t=tn-3n [/tex]
[tex]\qquad\qquad 48t=n(t-3).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(3.1)}[/tex]
Da igualdade [tex] \textcolor{#800000}{(3.1)}[/tex] concluímos que [tex]48t[/tex] é múltiplo de [tex]n[/tex].
Mas, sendo [tex]48t=16\cdot 3t[/tex], [tex]n[/tex] ímpar e [tex]16=2^4[/tex], resulta que [tex]mdc(16,n)=1[/tex] e, portanto, [tex]3t[/tex] é múltiplo de [tex]n[/tex]. Assim, existe um número inteiro positivo [tex]x[/tex] tal que [tex]3t=nx[/tex].
Multiplicando ambos os lados da equação [tex] \textcolor{#800000}{(3)}[/tex] por [tex]3[/tex] e substituindo [tex]3t[/tex] por [tex]nx[/tex], segue que:
[tex]\qquad\qquad 9n+48\cdot 3t=3tn\\
\qquad\qquad 9n+48\cdot nx=nx\cdot n\\
\qquad\qquad 9+48x=nx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(4)}\\
\qquad\qquad x(n-48)=9.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(4.1)}[/tex]
Da igualdade [tex] \textcolor{#800000}{(4.1)}[/tex] resulta que [tex]x[/tex] é um divisor inteiro positivo de [tex]9[/tex], ou seja, [tex]x=1[/tex], [tex]x=3[/tex] ou [tex]x=9[/tex].
Vamos analisar separadamente esses três casos; mas, antes disso, observe que, de [tex]\textcolor{#800000}{(4)}[/tex], temos que [tex] \boxed{n=\dfrac{9+48x}{x}}\, .[/tex]
- Se [tex]x=1[/tex], então [tex] n=\dfrac{9+48\cdot 1}{1}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{n=57}.[/tex]
- Se [tex]x=3[/tex], então [tex] n=\dfrac{9+48\cdot 3}{3}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{n=51}.[/tex]
- Se [tex]x=9[/tex], então [tex] n=\dfrac{9+48\cdot 9}{9}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{n=49}.[/tex]
Neste caso, por [tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex], temos que:
[tex]\quad 12\cdot 57+48m=57m\\
\quad 9m=684\\
\quad \boxed{m=76}.[/tex]
Neste caso, por [tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex], temos que:
[tex]\quad 12\cdot 51+48m=51m\\
\quad 3m=612\\
\quad \boxed{m=204}.[/tex]
Neste caso, por [tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex], temos que:
[tex]\quad 12\cdot 49+48m=49m\\
\quad \boxed{m=588}.[/tex]
Portanto, os pares ordenados [tex](m,n)[/tex] que satisfazem as condições do problema são: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(76,57)$}[/tex], [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(204,51)$}[/tex] e [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(588,49)$}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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