Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(Extraído de Fundamentos de Matemática Elementar, volume 4) Determine uma progressão aritmética de razão [tex]1[/tex], sabendo que o número de termos [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex], que a soma dos termos é [tex]33[/tex] e que o termo de ordem [tex]\dfrac{n}{3}[/tex] é [tex]4[/tex].
Lembrete
(1) Considerando uma progressão aritmética [tex]\left(a_1,a_2,a_3,\cdots, a_n\right)[/tex] de razão [tex]r[/tex] temos que:
(1.1) o termo geral é dado por [tex]\boxed{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}[/tex];
(1.2) a soma dos [tex]n[/tex] primeiros termos é dada por [tex]\boxed{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n} \, .[/tex]
(2) As raízes da equação do segundo grau [tex] \, \, ax^2+bx+c = 0 \, \, [/tex] são dadas por
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \, \, \, [/tex] e [tex] \, \, \, x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex],
onde [tex]a,b,c[/tex] são números reais, com [tex]a\ne 0 \, [/tex], e [tex] \, \Delta =b^2-4ac[/tex].
Solução
Seja [tex]\left(a_1,a_2,a_3,\cdots, a_n\right)[/tex] uma progressão aritmética que satisfaz as condições do problema.
Pelas hipóteses do problema, [tex]a_{\frac{n}{3}}=4[/tex]; assim, do Lembrete (1.1), segue que:
[tex]\qquad a_{\frac{n}{3}}=4\\
\qquad a_1+\bigg(\dfrac{n}{3}-1\bigg)\cdot 1=4 \\
\qquad a_1=5-\dfrac{n}{3}.\qquad \qquad \quad \quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex] temos que [tex]n=3k[/tex], para algum número natural [tex]k[/tex]. Assim, [tex]a_1=5-k[/tex] e, portanto,
[tex]\qquad a_n=a_{3k}=a_1+(3k-1)\cdot r\\
\qquad a_n=(5-k)+(3k-1)\cdot 1\\
\qquad a_n=2k+4.\qquad \qquad \quad \quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
De [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e do Lembrete (1.2) obtemos que:
[tex]\qquad 33=\dfrac{(5-k+2k+4)}{2}\cdot (3k)\\
\qquad 66=(k+9)\cdot (3k) \\
\qquad k^2+9k-22=0.[/tex]
Agora, vamos resolver a equação [tex] k^2+9k-22=0[/tex] usando a fórmula do Lembrete (2):
[tex]\qquad k=\dfrac{-9\pm \sqrt{9^2-4\cdot 1\cdot (-22) \, \, }}{2\cdot 1} \\
\qquad k=\dfrac{-9\pm \sqrt{169 \, }}{2}\\
\qquad k=\dfrac{-9\pm 13}{2}.[/tex]
Obtemos, então, dois possíveis valores para [tex]k[/tex]: [tex]k=-11[/tex] ou [tex]k=2[/tex]. Mas observe que [tex]k=-11[/tex] não satisfaz as condições do problema, pois [tex]n=3k[/tex] é um número positivo. Assim, [tex]k=2[/tex] e, com isso, [tex]\boxed{a_1=3} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{n=6} \, .[/tex]
Portanto, a progressão aritmética em questão é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(3,4,5,6,7,8)$} \, .[/tex]
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