Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
(UECE , 2017 – Adaptado) Se as raízes da equação [tex]\boxed{x^2-5|x|-6=0}[/tex] são também raízes de [tex]\boxed{x^2+mx+n=0}[/tex], determine os valores dos números reais [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex].
AJUDA
As raízes da equação do segundo grau [tex]\, \, ax^2+bx+c = 0\, \, [/tex] são dadas por
[tex]\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\, \, \, [/tex] e [tex]\, \, \, x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex],
onde [tex]a,b,c[/tex] são números reais, com [tex]a\ne 0\, [/tex], e [tex]\, \Delta =b^2-4ac[/tex].
Solução
Observe que, para todo número real [tex]t[/tex], temos que [tex]|t|^2=t^2[/tex].
Com isso, podemos reescrever a equação [tex]x^2-5|x|-6=0[/tex] como [tex]|x|^2-5|x|-6=0[/tex] e agora temos uma equação do segundo grau com incógnita [tex]|x|[/tex]. Se você se sentir mais confortável, pode chamar [tex]|x|[/tex] de [tex]z[/tex] e trabalhar com a equação [tex]z^2-5z-6=0[/tex], uma equação do segundo grau em [tex]z.[/tex]
De acordo com a fórmula de resolução de uma equação do segundo grau, as raízes de [tex]z^2-5z-6=0[/tex] podem ser assim calculadas:
[tex]\qquad z=\dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot (-6)\, }}{2\cdot 1}[/tex]
[tex]\qquad z=\dfrac{5 \pm \sqrt{25+24\, }}{2}[/tex]
[tex]\qquad z=\dfrac{5 \pm \sqrt{49\, }}{2}[/tex]
[tex]\qquad z=\dfrac{5 \pm 7}{2}[/tex]
[tex]\qquad z=\dfrac{5+7}{2}\, \, [/tex] ou [tex]\, \, z=\dfrac{5-7}{2}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{z=6}\, \, [/tex] ou [tex]\, \, \boxed{z=-1}.[/tex]
Sabemos que [tex]z=|x|[/tex]; assim, observe que:
- de [tex]z=6[/tex], segue que [tex]|x|=6[/tex], donde [tex]x=6[/tex] ou [tex]x=-6[/tex];
- de [tex]z=-1[/tex], segue que [tex]|x|=-1[/tex] e neste caso não existe um valor real [tex]x[/tex] que satisfaça essa igualdade, pois para qualquer número real [tex]a[/tex] sabemos que [tex]|a| \geqslant 0[/tex].
Dessa forma, a equação [tex]|x|^2-5|x|-6=0[/tex] tem duas raízes: [tex]x_1=6[/tex] e [tex]x_2=-6.[/tex]
Para resolver o problema, precisamos encontrar uma equação do segundo grau da forma [tex] x^2+mx+n=0 [/tex] que tenha [tex]6[/tex] e [tex]-6[/tex] como raízes. Para isso, observe que a equação [tex](x-6) \cdot (x+6)=0 [/tex] tem como raízes [tex]6[/tex] e [tex]-6[/tex]; dessa forma, vamos fazer o produto [tex](x-6) \cdot (x+6) [/tex] para escrever a equação [tex](x-6) \cdot (x+6)=0 [/tex] na forma [tex] x^2+mx+n=0 [/tex] e identificar os valores de [tex]m[/tex] e de [tex]n.[/tex]
Veja que:
[tex]\qquad (x-6) \cdot (x+6)=0 [/tex]
[tex]\qquad x^2+6x-6x-36=0 [/tex]
[tex]\qquad x^2+0x+(-36)=0[/tex];
Portanto, os valores dos números reais [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] que atendem as condições do problema são: [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=0$}\, [/tex] e [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=-36$}\, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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