.Problema para ajudar na escola: Uma medida de ângulo

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)

(XXVII OPM – 2009) Nos lados $CD$ e $BC$ de um quadrado $ABCD$ são marcados os pontos $N \,$ e $\, M$, respectivamente.
Sabendo que o perímetro do triângulo $MCN$ é igual ao dobro do comprimento do lado do quadrado, determine a medida do ângulo $M\hat AN.$

Solução 1

Sejam $l$ o comprimento do lado do quadrado, $n$ o comprimento do segmento $CM$ e $m$ o comprimento do segmento $CN$, conforme indicado na figura abaixo. Na figura, consideramos também que $\textcolor{red}{\theta}$ é a medida em graus do ângulo $M\hat AN.$
Sabemos que o perímetro do triângulo $MCN$ é igual ao dobro do comprimento do lado do quadrado. Assim, se $x$ for o comprimento do segmento $MN$, segue que:
$\qquad x+m+n=2l$
$\qquad \boxed{x=2l-m-n}$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $MCN$, temos que:
$\qquad m^2+n^2=\left(2l-m-n \right)^2$
$\qquad m^2+n^2=4l^2-4lm-4ln+2mn+m^2+n^2$
$\qquad \cancel{m^2}+\bcancel{n^2}=4l^2-4lm-4ln+2mn+\cancel{m^2}+\bcancel{n^2}$
$\qquad 0=4l^2-4lm-4ln+2mn$
$\qquad 2l^2-2lm-2ln+mn=0. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
Vamos agora observar os triângulos $ADN$ e $ABM$ para obter a tangente dos ângulos agudos $D\hat{A}N$ e $M\hat{A}B$, cujas medidas em graus denotaremos por $\textcolor{#CC66FF}{\beta}$ e $\textcolor{#00CC00}{\alpha}$, conforme indica a figura a seguir.

Perceba, então, que:
$\qquad \qquad \textcolor{#00CC00}{tg \, \alpha=\dfrac{l-n}{l}} \qquad \qquad$ e $\qquad \qquad \textcolor{#CC66FF}{tg \, \beta=\dfrac{l-m}{l}}$;
logo, da fórmula da tangente da soma, segue que:
$\qquad tg \, \left(\textcolor{#00CC00}{\alpha}+\textcolor{#CC66FF}{\beta} \right)=\dfrac{ \textcolor{#00CC00}{tg \, \alpha}+\textcolor{#CC66FF}{tg \, \beta}}{1- \textcolor{#00CC00}{tg \, \alpha}\cdot \textcolor{#CC66FF}{tg \, \beta}}$

$\qquad tg \, \left(\textcolor{#00CC00}{\alpha}+\textcolor{#CC66FF}{\beta} \right)=\dfrac{ \textcolor{#00CC00}{\dfrac{l-n}{l}}+\textcolor{#CC66FF}{\dfrac{l-m}{l}}}{1- \textcolor{#00CC00}{\dfrac{l-n}{l}}\cdot \textcolor{#CC66FF}{\dfrac{l-m}{l}}}=\dfrac{\dfrac{2l-m-n}{l}}{\dfrac{l^2-(l-m)\cdot(l-n)}{l^2}}$

$\qquad tg \, \left(\textcolor{#00CC00}{\alpha}+\textcolor{#CC66FF}{\beta} \right)=\dfrac{(2l-m-n)\cdot l}{l^2-(l-m)\cdot (l-n)}=\dfrac{2l^2-lm-ln}{l^2-(l^2-ln-lm+mn)}$

$\qquad tg \, \left(\textcolor{#00CC00}{\alpha}+\textcolor{#CC66FF}{\beta} \right)=\dfrac{2l^2-lm-ln}{ln+lm-mn}$.

De $\textcolor{#800000}{(i)}$, temos que $2l^2=2lm+2ln-mn$, logo:

$\qquad tg \, \left(\textcolor{#00CC00}{\alpha}+\textcolor{#CC66FF}{\beta} \right)=\dfrac{(2lm+2ln-mn)-lm-ln}{ln+lm-mn}=\dfrac{ln+lm-mn}{ln+lm-mn}$.

$\qquad tg \, \left(\textcolor{#00CC00}{\alpha}+\textcolor{#CC66FF}{\beta} \right)=1$.

Como o ângulo cuja medida é $\textcolor{#00CC00}{\alpha}+\textcolor{#CC66FF}{\beta}$ é um ângulo agudo, segue que $\boxed{\textcolor{#00CC00}{\alpha}+\textcolor{#CC66FF}{\beta}=45^\circ} \, .$
Mas $\textcolor{#CC66FF}{\beta}+\textcolor{red}{\theta}+\textcolor{#00CC00}{\alpha}=90^\circ$, logo:
$\qquad (\textcolor{#00CC00}{\alpha}+\textcolor{#CC66FF}{\beta})+\textcolor{red}{\theta}=90^\circ$
$\qquad 45^\circ+\textcolor{red}{\theta}=90^\circ$
$\qquad \textcolor{red}{\theta}=45^\circ .$
Portanto, a medida do ângulo $M\hat AN$ é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$45^\circ$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Sejam $l$ o comprimento do lado do quadrado, $n$ o comprimento do segmento $CM$ e $m$ o comprimento do segmento $CN$, conforme indicado na figura abaixo. Na figura, consideramos também que $\textcolor{red}{\theta}$ é a medida em graus do ângulo $M\hat AN.$

Faremos agora uma construção: seja $E$ o ponto da reta $CD$ tal que $D$ esteja entre os pontos $C$ e $E$ e que o comprimento do segmento $ED$ seja $l-n.$

Observe que, pelo Lembrete 1, os triângulos $ADE$ e $ABM$ são congruentes; logo, em particular, os segmentos $\textcolor{#0099FF}{AE}$ e $\textcolor{#0099FF}{AM}$ têm a mesma medida.
Por outro lado, sabemos que o perímetro do triângulo $MCN$ é igual ao dobro do comprimento do lado do quadrado. Assim, se $x$ for o comprimento do segmento $MN$, segue que:
$\qquad x+m+n=2l$
$\qquad \boxed{x=2l-m-n}$.
Na figura a seguir, vamos passar a limpo algumas informações que nos interessam para a conclusão da solução.

Note que os segmentos $\textcolor{#FF33CC}{EN}$ e $\textcolor{#FF33CC}{NM}$ têm o mesmo comprimento; assim, pelo Lembrete 2, os triângulos $AEN$ e $AMN$ são congruentes.
Vamos fazer uma última figura mostrando algumas igualdades entre medidas de ângulos que podemos obter a partir de congruências dos triângulos que aparecem na figura:

• da congruência dos triângulos $ADE$ e $ABM$, concluímos que os ângulos $\textcolor{#00CC00}{E\hat{A}D}$ e $\textcolor{#00CC00}{M\hat{A}B}$ têm a mesma medida, denotada por $\textcolor{#00CC00}{\alpha}$;
• da congruência dos triângulos $AEN$ e $ANM$, concluímos que os ângulos $\textcolor{red}{E\hat{A}N}$ e $\textcolor{red}{N\hat{A}M}$ têm a mesma medida, denotada por $\textcolor{red}{\theta}$.

Finalmente, veja que:
$\qquad 90^\circ=\textcolor{#CC66FF}{\beta}+\textcolor{red}{\theta}+\textcolor{#00CC00}{\alpha}$
$\qquad 90^\circ=(\textcolor{#00CC00}{\alpha}+\textcolor{#CC66FF}{\beta})+\textcolor{red}{\theta}$
$\qquad 90^\circ=\textcolor{red}{\theta}+\textcolor{red}{\theta}$
$\qquad 90^\circ=2\textcolor{red}{\theta}$
$\qquad \textcolor{red}{\theta}=\dfrac{90^\circ}{2}$
$\qquad \textcolor{red}{\theta}=45^\circ.$
Portanto, a medida do ângulo $M\hat AN$ é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$45^\circ$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.