Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)
(ONEM – 2007) Abaixo, vemos as quatro primeiras linhas de um triângulo numérico formado por todos os números ímpares, distribuídos de forma padrão. Qual a soma de todos os números que compõem a linha [tex]21[/tex] desse triângulo numérico?
Lembrete
A soma dos [tex]t[/tex] primeiros números naturais não nulos é dada por
[tex]\qquad \boxed{1+2+3+ \cdots+t=\dfrac{(1+t)\cdot t}{2}}[/tex]. (Se precisar, visite esta página.)
De modo geral, a soma dos [tex]t \, [/tex] primeiros termos de uma progressão aritmética
[tex]\qquad \left(x_1 \, , \, x_2 \, , \, x_3 \, , \, \cdots \, , \, x_t \, , \, \cdots \right)[/tex]
é dada por:
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{\left(x_1+x_t \right)\cdot t}{2}}[/tex].
Solução 1
Vamos observar algumas características das linhas do triângulo numérico do problema.
[tex]\begin{array}{|l|c|l|l|}
\hline
& \text{quantidade de elementos}&\text{primeiro elemento}&\text{último elemento}\\
\hline
\text{Linha 1}& 1 & 1 & 1 \\
\hline
\text{Linha 2}& 2 & 3=2\times \textcolor{red}{1}+1 & 5=2\times (\textcolor{red}{1}+\textcolor{blue}{1})+1 \\
\hline
\text{Linha 3}& 3 & 7=2\times \textcolor{red}{3}+1 & 11=2\times (\textcolor{red}{3}+\textcolor{blue}{2})+1 \\
\hline
\text{Linha 4}& 4 & 13=2\times \textcolor{red}{6}+1 & 19=2\times (\textcolor{red}{6}+\textcolor{blue}{3})+1 \\
\hline
\text{Linha 5}& 5 & 21=2\times \textcolor{red}{10}+1 & 29=2\times (\textcolor{red}{10}+\textcolor{blue}{4})+1 \\
\hline
\end{array}[/tex]
Observe que:
- o número em vermelho que define o primeiro elemento de cada linha é a quantidade de elementos que foram escritos nas linhas anteriores:
- o número em azul que define o último elemento de cada linha é a quantidade de elementos da respectiva linha que já foram escritos. A soma dos números em vermelho e azul é, portanto, a quantidade de elementos até então escritos:
[tex]\qquad \qquad linha \, 2:\textcolor{red}{1}=1\\
\qquad \qquad linha \, 3:\textcolor{red}{3}=1+2\\
\qquad \qquad linha \, 4:\textcolor{red}{6}=1+2+3\\
\qquad \qquad linha \, 5:\textcolor{red}{10}=1+2+3+4;[/tex]
[tex]\qquad \qquad linha \, 2:\textcolor{blue}{1}=2-1\\
\qquad \qquad linha \, 3:\textcolor{blue}{2}=3-1\\
\qquad \qquad linha \, 4:\textcolor{blue}{3}=4-1\\
\qquad \qquad linha \, 5:\textcolor{blue}{4}=5-1.[/tex]
Assim, o primeiro e último elementos escritos em uma linha genérica [tex]n[/tex] são definidos respectivamente por:
[tex]\quad \begin{align*}2\times \left(\textcolor{red}{1+2+3+\cdots + (n-1)}\right)+1&=2\times \left(\textcolor{red}{\frac{n(n-1)}{2}}\right)+1\\
&=\boxed{n^2-n+1};
\end{align*}[/tex]
[tex]\quad \begin{align*}2\times \left(\textcolor{red}{(1+2+3+\cdots + (n-1))}+\textcolor{blue}{(n-1)}\right)+1&=2\times \left(\textcolor{red}{\frac{n(n-1)}{2}}+\textcolor{blue}{(n-1)}\right)+1\\
&=2\times \left(\frac{n^2-n+2n-2}{2}\right)+1\\
&=n^2-n+2n-2+1\\
&=\boxed{n^2+n-1}.
\end{align*}[/tex]
Dessa forma, podemos definir uma linha genérica da tabela, conforme mostramos abaixo.
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& \text{quantidade de elementos}&\text{primeiro elemento}&\text{último elemento}\\
\hline
\text{Linha 1}& 1 & 1 & 1 \\
\hline
\text{Linha 2}& 2 & 3 & 5 \\
\hline
\text{Linha 3}& 3 & 7 & 11 \\
\hline
\text{Linha 4}& 4 & 13& 19 \\
\hline
\text{Linha 5}& 5 & 21 & 29 \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\hline
\text{Linha n}& n & n^2-n+1 & n^2+n-1 \\
\hline
\end{array}[/tex]
Em particular, o primeiro e o último elementos da linha [tex]21[/tex] são, respectivamente,
[tex]\qquad p=21^2-21+1=421[/tex],
[tex]\qquad u=21^2+21-1=461[/tex].
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& \text{quantidade de elementos}&\text{primeiro elemento}&\text{último elemento}\\
\hline
\text{Linha 1}& 1 & 1 & 1 \\
\hline
\text{Linha 2}& 2 & 3 & 5 \\
\hline
\text{Linha 3}& 3 & 7 & 11 \\
\hline
\text{Linha 4}& 4 & 13& 19 \\
\hline
\text{Linha 5}& 5 & 21 & 29 \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\hline
\text{Linha 21}& 21 & 421 & 461\\
\hline
\end{array}[/tex]
Logo, a soma [tex]S[/tex] de todos os elementos da linha [tex]21[/tex] do nosso triângulo numérico é [tex] S=421+423+\cdots +461 [/tex] e é essa soma que vamos calcular. Para isso, vamos utilizar a fórmula geral do Lembrete.
Observe que a soma dos [tex]21[/tex] primeiros termos da progressão aritmética
[tex]\qquad \qquad\left(421 \, , \, 423 \, , \, 425 \, , \, \cdots \, , \, 461 \, , \, \cdots \right)[/tex]
é dada por:
[tex]\qquad \qquad\dfrac{\left(421+461 \right)\cdot 21}{2}=9261[/tex];
portanto, a soma de todos os números que compõem a linha [tex]21[/tex] do triângulo numérico é [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$9\,261$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Uma ajuda para a segunda solução
A soma dos [tex]t[/tex] primeiros números ímpares não nulos é [tex]t^2[/tex]:
[tex]\qquad \boxed{\underbrace{1+3+5+\cdots+(2t-1)}_{\text{t números}}=t^2}.[/tex]
Solução 2
Observe a soma dos elementos das primeiras linhas do triângulo numérico:
- Linha [tex]1: \, 1=1^3[/tex]
- Linha [tex]2: \, 3+5=8=2^3[/tex]
- Linha [tex]3: \, 7+9+11=27=3^3[/tex]
- Linha [tex]4: \, 13+15+17+19=64=4^3[/tex].
A partir desse resultado, somos levados a intuir que a soma dos elementos da linha [tex]21[/tex] do triângulo numérico da questão seja [tex]21^3[/tex]. Mas é necessária uma demonstração formal dessa afirmação e é isso que faremos. Para isso, denotaremos por [tex]S_n[/tex] a soma dos elementos da linha [tex]n[/tex] do triângulo numérico.
Como
[tex]\qquad \left(S_1+S_2+S_3+S_4+\cdots+S_{20}+S_{21}\right)\\
\qquad \quad -\left(S_1+S_2+S_3+S_4+\cdots+S_{19}+S_{20}\right)=S_{21},\quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
vamos calcular isoladamente as somas que definem o minuendo e o subtraendo da diferença [tex]\textcolor{#800000}{(i)}.[/tex]
- Minuendo
- Subtraendo
Inicialmente, observe que:
[tex]\qquad S_1+S_2+S_3+S_4+\cdots+S_{20}+S_{21}=\\
\qquad \quad=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+\cdots +(2k_1-1)[/tex]
sendo [tex]k_1[/tex] a quantidade de elementos que foram somados nas [tex]21[/tex] filas do triângulo numérico.
Para podermos utilizar a fórmula da ajuda e obter [tex]S_{21}[/tex] precisaremos determinar [tex]k_1[/tex]. Para isso, note que no minuendo somamos todos os elementos das filas [tex]1, \, 2, \, 3, \, \cdots \, , \, 21[/tex].
Mas observe a quantidade de elementos que temos em cada linha:
[tex]\begin{array}{|l|c|}
\hline
\text{Linhas}& \text{quantidade de elementos}\\
\hline
\text{Linha 1}& 1 \\
\hline
\text{Linha 2}& 2 \\
\hline
\text{Linha 3}& 3 \\
\hline
\text{Linha 4}& 4 \\
\hline
\text{Linha 5}& 5 \\
\hline
\vdots& \vdots \\
\hline
\text{Linha 20}& 20 \\
\hline
\text{Linha 21}& 21 \\
\hline
\end{array}[/tex]
assim, somamos:
[tex]\qquad 1+2+3+\cdots +21=\dfrac{(1+21)\cdot 21}{2}=231[/tex] elementos.
Logo [tex]k_1=231[/tex] e, portanto, o valor do minuendo é dado por:
[tex]\qquad \begin{align*} S_1&+S_2+S_3+S_4+\cdots+S_{20}+S_{21}=\\
&=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+\cdots +(2k_1-1)\\
&=k_{1}^2=231^2\\
&=53 \, 361.\end{align*}[/tex]
Analogamente, observe que:
[tex]\qquad S_1+S_2+S_3+S_4+\cdots+S_{19}+S_{20}=\\
\qquad \quad =1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+\cdots +(2k_2-1)[/tex]
sendo [tex]k_2[/tex] a quantidade de elementos que foram somados nas [tex]20[/tex] filas do triângulo numérico.
Podemos utilizar a fórmula da ajuda para obter [tex]S_{20}[/tex] se conhecermos [tex]k_2[/tex]. Para calcular [tex]k_2[/tex], observe que no subtraendo somamos todos os elementos das linhas [tex]1, \, 2, \, 3, \, \cdots \, , \, 20[/tex].
Com a tabela acima, temos a quantidade de elementos em cada uma das [tex]20[/tex] linhas; assim, somamos:
[tex]\qquad 1+2+3+\cdots +20=\dfrac{(1+20)\cdot 20}{2}=210[/tex] elementos.
Dessa forma, [tex]k_2=210[/tex] e o subtraendo pode ser assim calculado:
[tex]\qquad \begin{align*} &S_1+S_2+S_3+S_4+\cdots+S_{19}+S_{20}=\\
&=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+\cdots +(2k_2-1)=\\
&=k_{2}^2=210^2\\
&=44 \, 100.\end{align*}[/tex]
Finalmente, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad S_{21}=53 \, 361-44 \, 100=9 \, 261.[/tex]
Pelo exposto, a soma de todos os números que compõem a linha [tex]21[/tex] do triângulo numérico é [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$9\,261$} \, .[/tex]
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E não é que [tex] \boxed{9 \, 261=21^3}[/tex]? |
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Legal ! ! ! |
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Podemos generalizar essa última observação. Veja como:
- Até a linha [tex]n[/tex], há [tex]1+\cdots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex] números ímpares, cuja soma é [tex]\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2.[/tex]
- Até a linha [tex]n+1[/tex], há [tex]1+\cdots +n+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}[/tex] números ímpares, cuja soma é [tex]\left(\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2[/tex].
Logo, a soma dos elementos da linha [tex]n+1[/tex] pode ser assim calculada:
[tex]\,\\
\qquad \qquad \begin{align*}S_{n+1}&=\left(\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2-\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\\
&=(n+2)^2\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2-n^2\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2\\
&=\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2[(n+2)^2-n^2]\\
&=\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2(\cancel{n^2}+4n+4-\cancel{n^2})\\
&=\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2(4n+4)\\
&=\dfrac{(n+1)^2}{\cancel{4}}\cdot \cancel{4}(n+1)\\
&=(n+1)^3.\end{align*}\\
\,[/tex]
Portanto, de fato, [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S_{n+1}=(n+1)^3$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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