Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)
Se [tex] \, \theta \, [/tex] é um ângulo agudo tal que [tex]\boxed{cossec\,\theta+cotg\,\theta=\sqrt{5}}[/tex], determine [tex]sec\,\theta.[/tex]
Solução
Dentre as várias identidades trigonométricas, vamos utilizar uma na qual aparecem a cossecante e a cotangente de um ângulo:
[tex]cossec^2\theta-cotg^2\theta=1[/tex]
e, fatorando essa identidade, obtemos que [tex]\left(cossec \, \theta-cotg \, \theta\right)\times \left(cossec \, \theta+cotg \, \theta\right)=1.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Mas, das informações do problema, sabemos que [tex]cossec\,\theta+cotg\,\theta=\sqrt{5}[/tex]; logo, de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], vem que:
[tex]\qquad \left(cossec \, \theta-cotg \, \theta\right)\times \left(cossec \, \theta+cotg \, \theta\right)=1\\
\qquad \left(cossec \, \theta-cotg \, \theta\right)\times \sqrt{5}=1\\
\qquad cossec \, \theta-cotg \, \theta=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\
\qquad cossec \, \theta-cotg \, \theta=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.[/tex]
Subtraindo as equações [tex]\boxed{cossec\,\theta+cotg\,\theta=\sqrt{5}}[/tex] e [tex]\boxed{cossec \, \theta-cotg \, \theta=\dfrac{\sqrt{5}}{5}}[/tex], segue que:
[tex]\qquad 2 \, cotg\,\theta=\sqrt{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\\
\qquad 2 \, cotg\,\theta=\dfrac{4 \, \sqrt{5}}{5}\\
\qquad cotg\,\theta=\dfrac{2 \, \sqrt{5}}{5}.[/tex]
Como [tex]cotg\,\theta=\dfrac{1}{tg\,\theta}[/tex], então [tex] tg\,\theta=\dfrac{5}{2 \, \sqrt{5}}= \dfrac{\sqrt{5}}{2}.[/tex]
Finalmente, sabemos que [tex]sec^2\theta-tg^2\theta=1[/tex], portanto:
[tex]\qquad sec^2\theta=tg^2\theta+1\\
\qquad sec^2\theta=\left(tg\, \theta\right)^2+1\\
\qquad sec^2\theta=\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2+1\\
\qquad sec^2\theta=\dfrac{5}{4}+1\\
\qquad sec^2\theta=\dfrac{9}{4}\\
\qquad sec\,\theta=\pm\dfrac{3}{2}.[/tex]
Sendo [tex] \, \theta \, [/tex] um ângulo agudo, concluímos que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$sec\,\theta=\dfrac{3}{2}$} \, .[/tex]
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