Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Círculos Matemáticos-Adaptado) O alfabeto Plutoniano consiste de quatro símbolos: [tex]\oplus, \ominus, \otimes[/tex] e [tex]\odot[/tex]. Uma palavra nessa linguagem é uma sequência arbitrária tendo, no máximo, cinco símbolos. Quantas palavras existem na linguagem Plutoniana?
Ajuda
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- [tex]\cdots[/tex]
- uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas,
- e todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[/tex] decisões (D1 e D2 e [tex]\cdots[/tex] e Dk) é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k}\, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
✏ Princípio Aditivo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- [tex]\cdots[/tex]
- uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas,
- e todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então a quantidade de maneiras em que uma das [tex]k[/tex] decisões pode ser tomada (D1 ou D2 ou [tex]\cdots[/tex] ou Dk) é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1+ m_2 + \cdots + m_k} \, .[/tex]
(Com o princípio aditivo podemos determinar de quantas maneiras pode ser realizada uma atividade que tem várias alternativas a serem desenvolvidas, das quais apenas uma pode ser escolhida de cada vez.)
Solução
Vamos calcular separadamente o número de palavras da linguagem Plutoniana com um, dois, três, quatro e cinco símbolos, usando o Princípio Multiplicativo. Note que, para cada símbolo, teremos quatro opções. Assim, os totais de palavras com cada quantidade de símbolos são:
- Palavras com um símbolo
- Palavras com dois símbolos
- Palavras com três símbolos
- Palavras com quatro símbolos
- Palavras com cinco símbolos
[tex]\begin{array}{c}
\underline{\text{ 4 escolhas }}\\
\text{ primeiro símbolo }&
\end{array}[/tex]
Assim, existem [tex]4=4^1[/tex] palavras com um símbolo apenas.[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
[tex]\begin{array}{c c }
\underline{\text{ 4 escolhas }}&\underline{\text{ 4 escolhas }}\\
\text{ primeiro símbolo }&\text{ segundo símbolo }
\end{array}[/tex]
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, existem [tex]4 \times 4=4^2[/tex] palavras com dois símbolos.[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
[tex]\begin{array}{c c c }
\underline{\text{ 4 escolhas }}&\underline{\text{ 4 escolhas }}&\underline{\text{ 4 escolhas }}\\
\text{ primeiro símbolo }&\text{ segundo símbolo }&\text{ terceiro símbolo }
\end{array}[/tex]
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, existem [tex]4 \times 4\times 4 =4^3[/tex] palavras com três símbolos.[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
[tex]\begin{array}{c c c c}
\underline{\text{ 4 escolhas }}&\underline{\text{ 4 escolhas }}&\underline{\text{ 4 escolhas }}&\underline{\text{ 4 escolhas }}\\
\text{ primeiro símbolo }&\text{ segundo símbolo }&\text{ terceiro símbolo }&\text{ quarto símbolo }
\end{array}[/tex]
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, existem [tex]4 \times 4 \times 4 \times 4 =4^4[/tex] palavras com quatro símbolos.[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, existem [tex]4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 =4^5[/tex] palavras com cinco símbolos.[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
Finalizando, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex], podemos utilizar o Princípio Aditivo e concluir que o total de palavras da linguagem Plutoniana é:
[tex]\qquad \qquad 4+4^2+4^3+4^4+4^5=4+16+64+256+1024= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1364$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.