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Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)
(XXX OPM – Adaptado) Na figura, vemos um quarto de círculo, com 20cm de raio, e dois semicírculos internos a ele. Determinar a área da região colorida de verde.
Solução 1
Vamos fazer uma construção geométrica para ajudar na solução do problema:
- considere o quadrado AM1DM2, construído a partir dos pontos médios M1 e M2 dos diâmetros ¯AB e ¯AC, respectivamente, conforme mostra a próxima figura.
Devemos calcular a área da região colorida de verde, que denominaremos de A. Para isso, calcularemos separadamente as áreas indicadas na figura como A1 e A2.
- Para calcularmos A2, vamos observar apenas os semicírculos de diâmetros ¯AB e ¯AC e vamos dividir a região de área A2 utilizando uma das diagonais do quadrado AM1DM2, conforme ilustrado na figura ao lado.
- A3 é a diferença entre a metade da área do semicírculo de diâmetro ¯AB e a área do triângulo AM1D;
- A4 é a diferença entre a metade da área do semicírculo de diâmetro ¯AC e a área do triângulo AM2D.
- Para calcularmos A1, basta observar que essa área é a área de 14 do círculo de raio ¯AB menos três áreas: 14 da área do círculo de raio ¯AM1; 14 da área do círculo de raio ¯AM2 e a área do quadrado AM1DM2, conforme ilustrado na figura ao lado.
Observe que A2=A3+A4 e que A3=A4.
Com efeito, perceba que:
Assim:
A3=A4=π10222−10×102A3=A4=π10222−10×5A3=A4=(25π−50)cm2,
donde segue que
A2=A3+A4
A2=2×(25π−50)
A2=(50π−100)cm2.
Dessa forma, temos que:
A1=14π202−14π102−14π102−102
A1=100π−25π−25π−100
A1=(50π−100)cm2.
Pronto, já podemos finalizar a nossa primeira solução e determinar a área A:
A=A1+A2
A=(50π−100)+(50π−100)
A=(100π−200)cm2.
Assim, a área da região colorida de verde mostrada na figura é (100π−200)cm2, ou seja, aproximadamente 114cm2.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Nesta segunda solução, também construiremos o quadrado AM1DM2, a partir dos pontos médios M1 e M2 dos diâmetros ¯AB e ¯AC, respectivamente.
Construído o quadrado, consideraremos as quatro regiões indicadas na próxima figura.
Observando apenas os semicírculos de diâmetros ¯AB e ¯AC, podemos perceber que essas quatro regiões são geometricamente equivalentes, ou seja, têm a mesma área:
- A2 é a diferença entre a metade da área do semicírculo de diâmetro ¯AB e a área do triângulo AM1D;
- A3 é a diferença entre a metade da área do semicírculo de diâmetro ¯AC e a área do triângulo AM2D.
- A4 é a diferença entre a metade da área do semicírculo de diâmetro ¯AC e a área do triângulo CM2D;
- A5 é a diferença entre a metade da área do semicírculo de diâmetro ¯AB e a área do triângulo BM1D.
Dessa forma, a área verde da figura original é igual a área verde da figura abaixo, à qual denominaremos A1.
E observe como é simples calcular A1, já que essa área é a diferença entre a área relativa a 14 de um círculo de raio 20 e a área de um triângulo retângulo com catetos 20.
Veja:
A1=14π202−20×202A1=100π−200.
Assim, a área da região colorida de verde mostrada na figura é (100π−200)cm2, ou seja, aproximadamente 114cm2.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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