Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)
(Junior Mathematical Olympiad 2010) Um número de oito dígitos [tex] \, \boxed{M=aaaabbbb} \, [/tex] é múltiplo de [tex]45[/tex].
Quais os possíveis valores para o algarismo [tex]a[/tex]?
Ajuda
Divisibilidade por 45: Um número natural [tex]n[/tex] é divisível por [tex]45[/tex] se, e somente se, [tex]n[/tex] for divisível simultaneamente por [tex]5[/tex] e [tex]9[/tex].
Observação importante
Cuidado com uma possível generalização desse critério: observe que [tex]36[/tex] é divisível simultaneamente por [tex]4[/tex] e [tex]6[/tex], mas [tex]36[/tex] não é divisível por [tex]24=4\cdot 6.[/tex]
Isso acontece porque o máximo divisor comum entre [tex]4[/tex] e [tex]6[/tex] é diferente de [tex]1.[/tex]
Uma generalização correta seria a seguinte:
- Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais tais que [tex]mdc(a,b)=1.[/tex]
Um número natural [tex]n[/tex] é divisível por [tex]a\cdot b[/tex] se, e somente se, [tex]n[/tex] for divisível simultaneamente por [tex] \, a \, [/tex] e [tex] \, b.[/tex]
Solução
Pelo critério de divisibilidade apresentado na Ajuda, o número natural [tex]M[/tex] é múltiplo de [tex]45[/tex] se, e somente se, [tex]M[/tex] for múltiplo simultaneamente de [tex]5[/tex] e [tex]9.[/tex] Vamos então analisar essas duas hipóteses separadamente.
- Como [tex]M[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex], então o último algarismo de [tex]M[/tex] é [tex]0[/tex] ou [tex]5.[/tex] Com isso,
- [tex]b=0[/tex] ou [tex]b=5.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
- Como [tex]M[/tex] é múltiplo de [tex]9[/tex], então a soma dos dígitos de [tex]M[/tex] deve ser um múltiplo de [tex]9[/tex], ou seja, [tex]a+a+a+a+b+b+b+b=4\left(a+b\right)[/tex] é divisível por [tex]9.[/tex]
Como [tex]4[/tex] não tem fator comum com [tex]9[/tex], então, para que [tex]4\left(a+b\right)[/tex] seja divisível por [tex]9[/tex], é necessário que [tex]a+b[/tex] seja divisível por [tex]9.[/tex]
Mas [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] são algarismos e [tex]a\ne 0[/tex] (Lembre-se de que [tex]a[/tex] é o primeiro algarismo de um número com oito dígitos.), então [tex]0 \lt a+b \leqslant 18.[/tex] Dessa forma, para que [tex]a+b[/tex] seja divisível por [tex]9[/tex] temos duas possibilidades: - [tex]a+b=9 \, [/tex] ou [tex] \, a+b=18.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Dessa maneira, analisando simultaneamente [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos que:
- Se [tex]b=0[/tex], então [tex]a=9 \, [/tex] ou [tex]a=18.[/tex] No entanto, [tex]a[/tex] é um algarismo; consequentemente, [tex]a[/tex] não pode ser [tex]18[/tex].
- Se [tex]b=5[/tex], então [tex]a=4 \, [/tex] ou [tex]a=13.[/tex] Observe que [tex]a[/tex] é um algarismo; logo, [tex]a[/tex] também não pode ser [tex]13[/tex].
Pelo exposto, vemos que existem apenas dois valores possíveis para [tex]a[/tex]: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=9$} \, [/tex] ou [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=4$} \, .[/tex]
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