Vamos apresentar alguns problemas envolvendo raciocínio lógico para os quais podemos utilizar diagramas de Venn para organizar os dados e visualizar melhor um caminho para resolvê-los. Para alguns problemas apresentaremos suas respectivas soluções e para outros forneceremos apenas suas respostas.
Antes de iniciarmos, uma observação importante que pode ajudar na utilização de diagramas de Venn na resolução de problemas:
(1) Quando trabalhamos simultaneamente com dois conjuntos [tex]A, \, B[/tex] de um universo [tex]U,[/tex] para cada elemento de [tex]U \, [/tex] temos uma, e apenas uma, das seguintes situações:
o elemento em questão não pertence ao conjunto [tex]A \, [/tex] e nem ao conjunto [tex]B;[/tex]
o elemento em questão pertence apenas ao conjunto [tex]A;[/tex]
o elemento em questão pertence apenas ao conjunto [tex]B;[/tex]
o elemento em questão pertence ao conjunto [tex]A \, [/tex] e ao conjunto [tex]B \, [/tex], simultaneamente.
(2) Quando trabalhamos simultaneamente com três conjuntos [tex]A, \, B, \, C \, [/tex] de um universo [tex]U \, [/tex], para cada elemento de [tex]U \, [/tex] temos uma, e apenas uma, das seguintes situações:
o elemento em questão não pertence ao conjunto [tex]A \, [/tex], nem ao conjunto [tex]B \, [/tex] e nem ao conjunto [tex]C \, [/tex];
o elemento em questão pertence apenas ao conjunto [tex]A;[/tex]
o elemento em questão pertence apenas ao conjunto [tex]B;[/tex]
o elemento em questão pertence apenas ao conjunto [tex]C;[/tex]
o elemento em questão pertence ao conjunto [tex]A \, [/tex] e ao conjunto [tex]B \, [/tex], mas não pertence ao conjunto [tex]C;[/tex]
o elemento em questão pertence ao conjunto [tex]A \, [/tex] e ao conjunto [tex]C \, [/tex], mas não pertence ao conjunto [tex]B;[/tex]
o elemento em questão pertence ao conjunto [tex]B \, [/tex] e ao conjunto [tex]C \, [/tex], mas não pertence ao conjunto [tex]A;[/tex]
o elemento em questão pertence ao conjunto [tex]A \, [/tex] e ao conjunto [tex]B \, [/tex] e ao conjunto [tex]C \, [/tex], simultaneamente.
Vamos ilustrar as oito situações desse segundo caso na figura abaixo.
Considerando operações entre conjuntos, ficamos com o esquema a seguir.
(3) Essa observação pode ser estendida a quatro ou mais conjuntos de um conjunto universo; no entanto fica visualmente complicado trabalhar com mais de três conjuntos, além do universo.
Por exemplo, não conseguimos construir um diagrama de Venn utilizando apenas círculos quando lidamos com quatro conjuntos. Observe na figura ao lado que, por exemplo, existe uma região para representar a interseção apenas dos conjuntos [tex]B[/tex] e [tex]A[/tex], existe uma região para representar a interseção apenas dos conjuntos [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex], mas não existe uma região em que apenas os conjuntos [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex] se intersectem.
O que você acha de utilizar os diagramas abaixo para representar os conjuntos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex]? Conseguimos representar todas as possíveis maneiras que um elemento pode fazer parte desses conjuntos?
Para aprofundar essa discussão, visite esta página.
Problemas
Problema 1: Uma avaliação contendo duas questões foi aplicada a 200 alunos.
Sabe-se que:
[tex]50[/tex] alunos acertaram as duas questões;
[tex]100[/tex] alunos acertaram a primeira questão;
[tex]90[/tex] alunos acertaram a segunda questão.
Quantos alunos erraram as duas questões?
Vamos montar um diagrama de Venn com os dados do problema.
alunos que acertaram as duas questões: [tex]50 \, [/tex];
[tex]100[/tex] alunos acertaram a primeira questão, mas destes [tex]50[/tex] acertaram as duas; assim, [tex]100-50=50[/tex] acertaram apenas a primeira;
[tex]90[/tex] alunos acertaram a segunda questão, mas destes [tex]50[/tex] acertaram as duas; assim, [tex]90-50=40[/tex] acertaram apenas a segunda;
Observamos, então, que [tex]50+50+40=140[/tex] alunos acertaram pelo menos uma das duas questões da avaliação. Como [tex]200[/tex] alunos fizeram a avaliação, então [tex]200-140=60[/tex] alunos erraram as duas questões.
Problema 2: (CRM ES 2016 – Quadrix) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, [tex]100[/tex] se informavam pelo site A; [tex]150[/tex] por meio do site B; [tex]20[/tex] buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e [tex]110[/tex] não se informavam por nenhum desses dois sites.
Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de:
[tex]\qquad(A) \, 380. \qquad(B) \, 360. \qquad(C) \, 340. \qquad(D) \, 270. \qquad(E) \, 230.[/tex]
Vamos utilizar mais uma vez um Diagrama de Venn.
Observe na figura que:
[tex]20[/tex] corresponde à quantidade de pessoas que se informavam pelos dois sites;
A região alaranjada corresponde à quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site A: [tex]100-20=80[/tex];
A região azul corresponde à quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site B: [tex]150-20=130[/tex].
A região branca corresponde à quantidade de pessoas que não se informavam por nenhum dos dois sites: [tex]110[/tex].
Dessa forma, foram consultadas na pesquisa um total de [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$80 + 20 + 130 + 110 = 340$} \, [/tex] pessoas e, portanto, a alternativa correta é a [tex]C.[/tex]
Problema 3: Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos.
Após as entrevistas, os resultados foram os seguintes:
[tex]416[/tex] alunos disseram que gostam de Rock.
[tex]320[/tex] alunos optaram por Pop.
[tex]116[/tex] alunos afirmaram que gostam de MPB.
[tex]93[/tex] alunos gostam de Rock e Pop.
[tex]52[/tex] alunos gostam de Pop e MPB.
Nenhum entrevistado gosta de “Rock e MPB”.
Nenhum entrevistado gosta dos três gêneros.
Quantos foram os alunos entrevistados?
Parece que já temos todos os dados que precisamos para montar um bom diagrama de Venn e responder a pergunta formulada no problema.
Iniciamos o preenchimento com os dados mais restritivos:
como nenhum entrevistado gosta de "Rock e MPB" ou "exatamente dos três gêneros", vamos deixar em branco a parte do diagrama relativa a essas duas opções;
alunos que gostam de Rock e Pop: [tex]93 \, [/tex];
alunos que gostam de Pop e MPB: [tex]52 \, [/tex];
os alunos que gostam de Pop somam [tex]320[/tex], mas destes [tex]52[/tex] também gostam de MPB e [tex]93[/tex] também gostam de Rock; assim, [tex]320-52-93=175 \, [/tex] gostam apenas de Pop;
os alunos que gostam de MPB somam [tex]116[/tex], mas destes já sabemos que [tex]52[/tex] também gostam de Pop; assim, [tex]116-52=64 \, [/tex] gostam apenas de MPB;
os alunos que gostam de Rock somam [tex]416[/tex] e destes também sabemos que [tex]93[/tex] também gostam de Pop; assim, [tex]416-93=323 \, [/tex] gostam apenas de Rock.
Como os dados não registram pessoas que não gostem de algum dos três gêneros, o diagrama está pronto e concluímos que foram entrevistados [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$175+93+323+52+64=707$}[/tex] alunos.
Problema 4: (PUC/Campinas-SP)
Numa comunidade constituída de [tex]1800[/tex] pessoas, há três programas de TV favoritos: esportes (E), novelas (N) e humorismo (H).
A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:
Programas
Número de Telespectadores
E
[tex]400[/tex]
N
[tex]1220[/tex]
H
[tex]1080[/tex]
E e N
[tex]220[/tex]
N e H
[tex]800[/tex]
E e H
[tex]180[/tex]
E e N e H
[tex]100[/tex]
Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três tipos de programas é:
[tex]\quad (A) \, 200. \quad (B) \, \text{os dados do problema estão incorretos}. \quad (C) \, 900. \quad (D) \, 100. [/tex]
(1) O dado mais restritivo é o número de pessoas que assistem aos três programas; assim, é por aí que iniciaremos o preenchimento de um diagrama de Venn:
[tex]100[/tex] pessoas estão na parte comum aos conjuntos E, N e H.
(2) Em seguida, o dado mais restritivo é sobre o número de pessoas que assistem a dois tipos de programas. São esses os dados que preencheremos agora.
Assistem a esportes e novelas [tex]220[/tex] pessoas, mas destas [tex]100[/tex] já foram indicadas em (1); logo, assistem a apenas esportes e novelas [tex]\boxed{220-100=120} \, [/tex] pessoas.
Assistem a esportes e humorismo [tex]180[/tex] pessoas, mas destas [tex]100[/tex] também já foram indicados em (1); logo, assistem a apenas esportes e humorismo [tex]\boxed{180-100=80} \, [/tex] pessoas.
Assistem a novelas e humorismo [tex]800[/tex] pessoas, mas destas [tex]100[/tex] também já foram indicados em (1); logo, assistem a apenas novelas e humorismo [tex]\boxed{800-100=700} \, [/tex] pessoas.
(3) Agora vamos nos preocupar com os dados relativos aos telespectadores que assistem a apenas um dos três tipos de programa da pesquisa.
Segundo os dados, [tex]400[/tex] pessoas assistem a esportes: dessas [tex]100[/tex] assistem aos três tipos de programas, [tex]120[/tex] assistem a apenas "esportes e novelas" e [tex]80[/tex] apenas a "esportes e humorismo". Portanto, assistem somente a programas de esporte [tex]\boxed{400-100-120-80=100} \, [/tex] pessoas.
Os dados indicam que [tex]1220[/tex] pessoas assistem a novelas e dessas [tex]100[/tex] assistem aos três tipos de programas, [tex]120[/tex] assistem a apenas "esportes e novelas" e [tex]700[/tex] a apenas "novelas e humorismo"; portanto, assistem somente a novelas [tex]\boxed{1220-100-120-700=300} \, [/tex] pessoas.
Finalmente, temos que [tex]1080[/tex] pessoas assistem a programa de humor. Dessas [tex]100[/tex] assistem aos três tipos de programas, [tex]80[/tex] assistem apenas a "humor e esportes" e [tex]700[/tex] apenas a "novelas e humorismo"; logo, assistem somente a programas de humor [tex]\boxed{1080-100-80-700=200} \, [/tex] pessoas.
Excluindo do total de [tex]1800[/tex] pessoas aquelas já distribuídas no diagrama, conseguimos o número de pessoas que não assistem a nenhum dos três programas:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1800-100-120-80-700-100-300-200=200$} \, [/tex] pessoas.
A alternativa correta é a [tex]A.[/tex]
Problema 5: O Departamento de Economia de uma determinada instituição de ensino resolveu fazer um estudo sobre as dificuldades dos seus alunos matriculados no primeiro semestre, visando o oferecimento de monitores para auxiliar na resolução de exercícios. Foi feita uma pesquisa com [tex]800[/tex] alunos e foram obtidos os seguintes dados:
Disciplinas A e C: [tex]90[/tex] alunos apontaram dificuldades.
Disciplinas A e B: [tex]22[/tex] alunos apontaram dificuldades.
Disciplinas B e C: [tex]78[/tex] alunos apontaram dificuldades.
Todos os alunos apontaram dificuldades em pelo menos uma dessas disciplinas.
Determinar a quantidade de alunos com dificuldades nas três disciplinas simultaneamente.
Não temos dados suficientes para preencher um diagrama de Venn e calcular a quantidade de alunos com dificuldades nas três disciplinas. Vamos então indicar essa quantidade por [tex]x[/tex] e tentar preencher um diagrama de Venn, em função dessa quantidade [tex]x[/tex]. Observe que:
[tex]800[/tex] alunos participaram da pesquisa e [tex]800[/tex] alunos têm dificuldades em pelo menos uma das disciplinas.
Como [tex]22[/tex] alunos apontam dificuldades em A e B e [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C, [tex]22-x \, [/tex] alunos têm dificuldades em A e B e não em C.
Como [tex]90[/tex] alunos apontam dificuldades em A e C e [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C, então [tex]90-x \, [/tex] alunos têm dificuldades em A e C e não em B.
Como [tex]78[/tex] alunos apontam dificuldades em B e C e [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C, então [tex]78-x \, [/tex] alunos têm dificuldades em B e C e não em A.
[tex]490[/tex] alunos apontam dificuldades em A, mas [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C; [tex]22-x \, [/tex] têm dificuldades só em A e B e [tex]90-x \, [/tex] têm dificuldades só em A e C; logo, [tex]490-x-(22-x)-(90-x)=378+x \, [/tex] têm dificuldades apenas em A .
[tex]320[/tex] alunos apontam dificuldades em B, mas [tex]x \, [/tex] têm dificuldades em A, B e C; [tex]22-x \, [/tex] têm dificuldades só em A e B e [tex]78-x \, [/tex] têm dificuldades só em B e C; logo, [tex]320-x-(22-x)-(78-x)=220+x \, [/tex] têm dificuldades apenas em B .
[tex]160[/tex] alunos apontam dificuldades em C, mas [tex]x[/tex] têm dificuldades em A, B e C; [tex]90-x \, [/tex] têm dificuldades só em A e C e [tex]78-x \, [/tex] têm dificuldades só em B e C; logo, [tex]160-x-(90-x)-(78-x)=x-8 \, [/tex] têm dificuldades apenas em C .
Pronto, temos o nosso diagrama!
Observe que a soma de todas as quantidades parciais é [tex]800[/tex], assim:
[tex]\qquad 800=x+(22-x)+(90-x)+(78-x)+(378+x)+(220+x)+(x-8)[/tex]
[tex]\qquad 800=780+x[/tex]
[tex]\qquad \boxed{x=20} \, .[/tex]
Sendo assim, temos que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$20$}[/tex] alunos apresentaram dificuldades nas três disciplinas.
Problema 6: Em um navio de cruzeiro viajam [tex] 1.200 [/tex] pessoas, das quais:
[tex]\dfrac{2}{3}[/tex] não bebem.
[tex]\dfrac{4}{5}[/tex] não fumam.
[tex]680[/tex] não bebem e não fumam.
Quantas das pessoas que estão nesse navio bebem e fumam?
Solução 1:
Já que o problema pede o número de pessoas que bebem e fumam, vamos converter os dados do problema.
Se [tex]\dfrac{2}{3}[/tex] das pessoas do navio não bebem, então [tex]\dfrac{1}{3}[/tex] bebem.
Como estão [tex] 1 \, 200 [/tex] pessoas no navio, [tex]\dfrac{1200}{3}=400 \, [/tex] bebem.
Se [tex]\dfrac{4}{5}[/tex] das pessoas do navio não fumam, então [tex]\dfrac{1}{5} \, [/tex] fumam.
Como estão [tex] 1 \, 200 [/tex] pessoas no navio, [tex]\dfrac{1200}{5}=240 \, [/tex] fumam.
Faremos um diagrama de Venn a partir desses novos dados. Para isso, vamos supor que [tex]x[/tex] seja o número de pessoas do navio que fumam e bebem; assim:
como [tex]400[/tex] pessoas bebem e [tex]x[/tex] "fumam e bebem", então [tex]400-x \, [/tex] só bebem.
como [tex]240[/tex] pessoas fumam e [tex]x[/tex] "fumam e bebem", então [tex]240-x \, [/tex] só fumam.
[tex]680[/tex] pessoas não bebem e não fumam, segundo os dados do problema.
Observamos pelo diagrama que [tex]1200=x+(400-x)+(240-x)+680[/tex] e, com isso:
[tex]\qquad 1200=x+400-x+240-x+680[/tex]
[tex]\qquad 1200=1320-x[/tex]
[tex]\qquad x=1320-1200[/tex]
[tex]\qquad \boxed{x=120} \, .[/tex]
Portanto, no navio há [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$}[/tex] pessoas que bebem e fumam.
Solução 2:
Vamos calcular a quantidade correspondente aos [tex]\dfrac{2}{3}[/tex] dos passageiros que não bebem e os [tex]\dfrac{4}{5}[/tex] que não fumam:
[tex]\dfrac{2}{3}[/tex] de [tex]1 \, 200[/tex]:
[tex]\qquad \dfrac{2}{3} \, 1200=\dfrac{2 \times \cancel{1200}}{\cancel{3}}=2\times 400=800[/tex]
Então, [tex]800[/tex] passageiros não bebem.
[tex]\dfrac{4}{5}[/tex] de [tex]1 \, 200[/tex]:
[tex]\qquad \dfrac{4}{5} \, 1200=\dfrac{4 \times \cancel{1200}}{\cancel{5}}=4\times 240=960[/tex]
Então, [tex]960[/tex] passageiros não fumam.
[tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Com o auxílio da figura abaixo, perceba que:
o conjunto dos passageiros que não bebem é o complementar do conjunto dos passageiros que bebem
o "conjunto dos passageiros que não bebem" contém o "conjunto dos passageiros que não bebem e que não fumam".
Dessa forma, a diferença [tex]800-680=120[/tex] é o número de passageiros que fumam e não bebem.
[tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Agora, com o auxílio da próxima figura, perceba que:
o conjunto dos passageiros que não fumam é o complementar do conjunto dos passageiros que fumam
o "conjunto dos passageiros que não fumam" contém o "conjunto dos passageiros que não bebem e que não fumam".
Dessa forma, a diferença [tex]960-680=280[/tex] é o número de passageiros que bebem e não fumam.
Dessa forma, se denotarmos por [tex]m[/tex] o número de passageiros que fumam e bebem, teremos o próximo diagrama.
Esse gráfico nos mostra que:
[tex]\qquad 1200=280+m+120+680[/tex]
[tex]\qquad 1200=1080+m[/tex]
[tex]\qquad m=1200-1080[/tex]
[tex]\qquad \boxed{m=120} \, .[/tex]
Portanto, no navio existem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$}[/tex] pessoas que bebem e fumam.
Problema 7: (ENEM 2013) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
[tex]\qquad(A) \, \dfrac{1}{2}. \qquad(B) \, \dfrac{5}{8}. \qquad(C) \, \dfrac{1}{4}. \qquad(D) \, \dfrac{5}{6}. \qquad(E) \, \dfrac{5}{14}.[/tex]
Neste caso, sabemos que:
a probabilidade é dada pelo quociente entre o “número de casos favoráveis” e “número total de casos”:
[tex]P=[/tex]
número de casos favoráveis
número de casos possíveis
o espaço amostral do problema é formado pelos alunos da escola que não falam inglês; portanto, o número de casos possíveis é a "quantidade de alunos da escola que não falam inglês";
o número casos favoráveis é a "quantidade de alunos da escola que não falam inglês e falam espanhol".
Utilizaremos um diagrama de Venn para visualizarmos melhor os dados do problema e calcularmos essas duas quantidades. Vamos lá!
Dos [tex]1 \, 200[/tex] alunos da escola, [tex]300[/tex] não falam nenhuma língua; logo, [tex]1200-300 = 900[/tex] alunos falam pelo menos uma língua. Desses, [tex]600[/tex] falam inglês, [tex]500[/tex] falam espanhol e certa quantidade, que denotaremos por [tex]x \, [/tex], falam as duas línguas.
Vamos montar o nosso diagrama de Venn a partir dessas duas informações. Nesse diagrama:
► [tex]I[/tex] indicará o conjunto dos alunos da escola que falam inglês;
► [tex]E[/tex] indicará o conjunto dos alunos da escola que falam espanhol;
► [tex]A[/tex] indicará o conjunto universo, ou seja, o conjunto de todos os alunos da escola.
Observe que:
Como [tex]600[/tex] alunos falam inglês e [tex]x \, [/tex] falam "inglês e espanhol", então [tex]600-x[/tex] alunos falam somente inglês.
Como [tex]500[/tex] alunos falam espanhol e [tex]x \, [/tex] falam "inglês e espanhol", então [tex]500-x[/tex] alunos falam somente espanhol .
Sendo assim, segue que:
[tex] \qquad (600-x)+(500-x)+x+300=1200[/tex]
[tex] \qquad 1400-x=1200[/tex]
[tex] \qquad \boxed{x=200} \, .[/tex]
Com isso, finalizamos o nosso diagrama de Venn e podemos calcular a probabilidade solicitada no problema:
Casos possíveis: alunos da escola que não falam inglês
[tex] \qquad cp= \textcolor{red}{300} + \textcolor{#FFA500}{300}[/tex]
[tex] \qquad \boxed{cp=600}[/tex]
ou, de outra forma,
[tex] \qquad cp= 1200 -(\textcolor{00BFFF}{400}+200)[/tex]
[tex] \qquad \boxed{cp=600} \, .[/tex]
Casos favoráveis: alunos da escola que não falam inglês e falam espanhol
[tex] \qquad \boxed{cf=300} \, .[/tex]
Problema 8: (Vunesp 2014) Três conjuntos, [tex]A, \, B[/tex] e [tex]C \, [/tex], têm um total de [tex]40[/tex] elementos. Sabe-se que [tex]7[/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]A[/tex], [tex]10[/tex] elementos, apenas ao conjunto [tex]B[/tex], [tex]13[/tex] elementos, apenas ao conjunto [tex]C[/tex], e pelo menos um elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos. Os demais elementos podem pertencer ou a dois desses conjuntos ou aos três conjuntos. Desse modo, a maior diferença possível da quantidade total de elementos de certo conjunto em relação à quantidade total de elementos de outro conjunto é:
[tex]\qquad(A) \, 4. \qquad (B) \, 17. \qquad (C) \, 6. \qquad (D) \, 15. \qquad (E) \, 27.[/tex]
Vamos utilizar um diagrama com três conjuntos e preenchê-lo de acordo com os dados do problema:
[tex]7[/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]A \, [/tex].
[tex]10[/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]B \, [/tex].
[tex]13[/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]C \, [/tex].
Pelo menos um elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos: já vamos marcá-lo na respectiva região, embora não saibamos ainda se existem outros elementos que pertencem simultaneamente aos três conjuntos.
Como os três conjuntos juntos têm [tex]40[/tex] elementos e os demais elementos ainda não distribuídos pertencem a dois ou a três dos conjuntos [tex]A, \, B,C \, [/tex], então o conjunto universo do problema tem [tex]40[/tex] elementos e o número de elementos que não pertencem a [tex]A[/tex], nem a [tex]B[/tex] e nem a [tex]C[/tex] é zero.
Para o preenchimento de três das regiões definidas no diagrama não temos informações.
Note que faltam ser distribuídos entre as regiões assinaladas com o símbolo de interrogação (?) um total de [tex]40-(7+10+13+1)=9[/tex] elementos.
A distribuição desses [tex]9[/tex] elementos deve ser feita de modo que "a diferença entre a quantidade total de elementos de um dos três conjuntos e quantidade total de elementos de outro dos três conjuntos" seja a maior possível. E para que isso aconteça devemos fazer a diferença entre os conjuntos que, após a distribuição, ficarem com a maior e a menor quantidade de elementos.
Vamos então determinar a quantidade de elementos que cada um dos conjuntos [tex]A, \, B[/tex] e [tex]C[/tex] têm até o momento:
Conjunto [tex]A: \, \textcolor{#FF0000}{7}+\textcolor{#FF8C00}{1}=8[/tex] elementos;
Conjunto [tex]B: \, \textcolor{#0000FF}{10}+\textcolor{#FF8C00}{1}=11[/tex] elementos;
Conjunto [tex]C: \, \textcolor{#228B22}{13}+\textcolor{#FF8C00}{1}=14[/tex] elementos.
Antes da distribuição o conjunto [tex]A[/tex] tem o menor número de elementos e [tex]C \, [/tex], o maior; dessa forma, observamos que: (1) Se o conjunto [tex]C[/tex] receber os nove elementos, ele ficará com a maior quantidade possível de elementos que um dos três conjuntos deve ter: [tex]14+9=23[/tex] elementos. (2) Se o conjunto [tex]A[/tex] não receber mais elementos, ele ficará com a menor quantidade possível de elementos que um dos três conjuntos deve ter: [tex]8[/tex] elementos.
Finalizando, os nove elementos devem então ficar na região correspondente à interseção [tex]\boxed{C \cap B}[/tex] e, com isso, fechamos a distribuição dos [tex]9[/tex] elementos entre as regiões internas do nosso diagrama de Venn!
Portanto, a maior diferença possível solicitada no problema será dada por
[tex]\qquad\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(13+9+1)-8=15$} \, [/tex]
e a alternativa correta é a [tex](D).[/tex]
Problema 9: (UFBA – adaptado) Numa academia de ginástica que oferece várias opções de atividades físicas, foi feita uma pesquisa para saber o número de pessoas matriculadas em alongamento, hidroginástica e musculação, chegando-se ao resultado expresso na tabela a seguir:
Com base nessas informações, verifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras. (01) A pesquisa envolveu [tex]500[/tex] pessoas. (02) [tex]61[/tex] pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento. (03) [tex]89[/tex] pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela. (04) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a [tex]28,4\%[/tex] do total de pessoas envolvidas na pesquisa.
Vamos analisar os dados fornecidos pelo problema e construir um diagrama de Venn para verificar a veracidade de cada uma das quatro afirmações.
Faremos o preenchimento do diagrama iniciando com os dados mais restritivos:
Grupo de alunos que praticam as três modalidades: [tex]5[/tex] alunos.
São [tex]25[/tex] alunos que praticam alongamento e hidroginástica; mas, destes, [tex]5[/tex] também praticam musculação. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas alongamento e hidroginástica é composto de [tex]25-5=20[/tex] alunos.
São [tex]28[/tex] alunos que praticam alongamento e musculação; mas, destes, [tex]5[/tex] também praticam hidroginástica. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas alongamento e musculação é composto de [tex]28-5=23[/tex] alunos.
São [tex]41[/tex] alunos que praticam hidroginástica e musculação; mas, destes, [tex]5[/tex] também praticam alongamento. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas hidroginástica e musculação é composto de [tex]41-5=36[/tex] alunos.
São [tex]109[/tex] alunos que fazem alongamento; mas, destes, podemos retirar [tex]20[/tex] que também fazem hidroginástica, [tex]23[/tex] que também praticam musculação e [tex]5[/tex] que fazem as três modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente alongamento é composto de [tex]109-20-23-5=61[/tex] alunos.
Dos [tex]203[/tex] alunos que fazem hidroginástica, podemos desconsiderar os [tex]20[/tex] que também fazem alongamento, os [tex]36[/tex] que também praticam musculação e os [tex]5[/tex] que fazem as três modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente hidroginástica é composto de [tex]203-20-36-5=142[/tex] alunos.
Dos [tex]162[/tex] alunos que fazem musculação, podemos descontar os [tex]23[/tex] que também fazem alongamento, os [tex]36[/tex] que também praticam hidroginástica e os [tex]5[/tex] que fazem as três modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente musculação é composto de [tex]162-23-36-5=98[/tex] alunos.
Temos ainda [tex]115[/tex] alunos que fazem outras modalidades.
A partir dessas informações, podemos montar o seguinte diagrama de Venn
e iniciar a análise das quatro afirmações. (01) A pesquisa envolveu [tex]500[/tex] pessoas.
Somando todos os valores que aparecem no diagrama, temos:
[tex] \qquad 142 + 20 + 5 + 36 + 23 + 61 + 98 + 115 = 500.[/tex]
Assim, a afirmação é verdadeira, pois a pesquisa envolveu, de fato, [tex]500[/tex] pessoas.
(02) [tex]61[/tex] pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento.
Analisando o diagrama, observamos que afirmação é verdadeira.
(03) [tex]89[/tex] pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela.
Os que foram matriculados em pelo menos duas das atividades são aqueles que aparecem nas intersecções:
[tex] \qquad 36 + 23 + 20 + 5 = 84.[/tex]
Com isso, são [tex] 84 [/tex] pessoas praticando, pelo menos, duas das atividades. Portanto, a afirmação é falsa.
(04) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a [tex]28,4\%[/tex] do total de pessoas envolvidas na pesquisa.
Considerando o total de [tex]500[/tex] alunos entrevistados como [tex]100\%[/tex], vamos determinar a porcentagem correspondente a [tex]142[/tex], que é o número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica. Para isso, utilizaremos uma regra de três simples.
[tex]500[/tex]
—————————-
[tex]100\%[/tex]
Temos que [tex]\boxed{500x=142\cdot 100}[/tex]; donde [tex]\boxed{x =\dfrac{14200}{500}=28,4}[/tex].
[tex]142[/tex]
—————————-
[tex]x\%[/tex]
Assim, a porcentagem correspondente às pessoas matriculadas apenas em hidroginástica é [tex]28,4\%[/tex], o que mostra que a afirmação é verdadeira.
(3) Essa observação pode ser estendida a quatro ou mais conjuntos de um conjunto universo; no entanto fica visualmente complicado trabalhar com mais de três conjuntos, além do universo.
Observe que:
