Vamos apresentar alguns problemas envolvendo raciocínio lógico para os quais podemos utilizar diagramas de Venn para organizar os dados e visualizar melhor um caminho para resolvê-los. Para alguns problemas apresentaremos suas respectivas soluções e para outros forneceremos apenas suas respostas.
Antes de iniciarmos, uma observação importante que pode ajudar na utilização de diagramas de Venn na resolução de problemas:
(1) Quando trabalhamos simultaneamente com dois conjuntos A,B de um universo U, para cada elemento de U temos uma, e apenas uma, das seguintes situações:
o elemento em questão não pertence ao conjunto A e nem ao conjunto B;
o elemento em questão pertence apenas ao conjunto A;
o elemento em questão pertence apenas ao conjunto B;
o elemento em questão pertence ao conjunto A e ao conjunto B, simultaneamente.
(2) Quando trabalhamos simultaneamente com três conjuntos A,B,C de um universo U, para cada elemento de U temos uma, e apenas uma, das seguintes situações:
o elemento em questão não pertence ao conjunto A, nem ao conjunto B e nem ao conjunto C;
o elemento em questão pertence apenas ao conjunto A;
o elemento em questão pertence apenas ao conjunto B;
o elemento em questão pertence apenas ao conjunto C;
o elemento em questão pertence ao conjunto A e ao conjunto B, mas não pertence ao conjunto C;
o elemento em questão pertence ao conjunto A e ao conjunto C, mas não pertence ao conjunto B;
o elemento em questão pertence ao conjunto B e ao conjunto C, mas não pertence ao conjunto A;
o elemento em questão pertence ao conjunto A e ao conjunto B e ao conjunto C, simultaneamente.
Vamos ilustrar as oito situações desse segundo caso na figura abaixo.
Considerando operações entre conjuntos, ficamos com o esquema a seguir.
(3) Essa observação pode ser estendida a quatro ou mais conjuntos de um conjunto universo; no entanto fica visualmente complicado trabalhar com mais de três conjuntos, além do universo.
Por exemplo, não conseguimos construir um diagrama de Venn utilizando apenas círculos quando lidamos com quatro conjuntos. Observe na figura ao lado que, por exemplo, existe uma região para representar a interseção apenas dos conjuntos B e A, existe uma região para representar a interseção apenas dos conjuntos B e C, mas não existe uma região em que apenas os conjuntos B e D se intersectem.
O que você acha de utilizar os diagramas abaixo para representar os conjuntos A, B, C e D? Conseguimos representar todas as possíveis maneiras que um elemento pode fazer parte desses conjuntos?
Para aprofundar essa discussão, visite esta página.
Problemas
Problema 1: Uma avaliação contendo duas questões foi aplicada a 200 alunos.
Sabe-se que:
50 alunos acertaram as duas questões;
100 alunos acertaram a primeira questão;
90 alunos acertaram a segunda questão.
Quantos alunos erraram as duas questões?
Vamos montar um diagrama de Venn com os dados do problema.
alunos que acertaram as duas questões: 50;
100 alunos acertaram a primeira questão, mas destes 50 acertaram as duas; assim, 100−50=50 acertaram apenas a primeira;
90 alunos acertaram a segunda questão, mas destes 50 acertaram as duas; assim, 90−50=40 acertaram apenas a segunda;
Observamos, então, que 50+50+40=140 alunos acertaram pelo menos uma das duas questões da avaliação. Como 200 alunos fizeram a avaliação, então 200−140=60 alunos erraram as duas questões.
Problema 2: (CRM ES 2016 – Quadrix) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites.
Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de: (A)380.(B)360.(C)340.(D)270.(E)230.
Vamos utilizar mais uma vez um Diagrama de Venn.
Observe na figura que:
20 corresponde à quantidade de pessoas que se informavam pelos dois sites;
A região alaranjada corresponde à quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site A: 100−20=80;
A região azul corresponde à quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site B: 150−20=130.
A região branca corresponde à quantidade de pessoas que não se informavam por nenhum dos dois sites: 110.
Dessa forma, foram consultadas na pesquisa um total de 80+20+130+110=340 pessoas e, portanto, a alternativa correta é a C.
Problema 3: Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos.
Após as entrevistas, os resultados foram os seguintes:
416 alunos disseram que gostam de Rock.
320 alunos optaram por Pop.
116 alunos afirmaram que gostam de MPB.
93 alunos gostam de Rock e Pop.
52 alunos gostam de Pop e MPB.
Nenhum entrevistado gosta de “Rock e MPB”.
Nenhum entrevistado gosta dos três gêneros.
Quantos foram os alunos entrevistados?
Parece que já temos todos os dados que precisamos para montar um bom diagrama de Venn e responder a pergunta formulada no problema.
Iniciamos o preenchimento com os dados mais restritivos:
como nenhum entrevistado gosta de "Rock e MPB" ou "exatamente dos três gêneros", vamos deixar em branco a parte do diagrama relativa a essas duas opções;
alunos que gostam de Rock e Pop: 93;
alunos que gostam de Pop e MPB: 52;
os alunos que gostam de Pop somam 320, mas destes 52 também gostam de MPB e 93 também gostam de Rock; assim, 320−52−93=175 gostam apenas de Pop;
os alunos que gostam de MPB somam 116, mas destes já sabemos que 52 também gostam de Pop; assim, 116−52=64 gostam apenas de MPB;
os alunos que gostam de Rock somam 416 e destes também sabemos que 93 também gostam de Pop; assim, 416−93=323 gostam apenas de Rock.
Como os dados não registram pessoas que não gostem de algum dos três gêneros, o diagrama está pronto e concluímos que foram entrevistados 175+93+323+52+64=707 alunos.
Problema 4: (PUC/Campinas-SP)
Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esportes (E), novelas (N) e humorismo (H).
A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:
Programas
Número de Telespectadores
E
400
N
1220
H
1080
E e N
220
N e H
800
E e H
180
E e N e H
100
Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três tipos de programas é: (A)200.(B)os dados do problema estão incorretos.(C)900.(D)100.
(1) O dado mais restritivo é o número de pessoas que assistem aos três programas; assim, é por aí que iniciaremos o preenchimento de um diagrama de Venn:
100 pessoas estão na parte comum aos conjuntos E, N e H.
(2) Em seguida, o dado mais restritivo é sobre o número de pessoas que assistem a dois tipos de programas. São esses os dados que preencheremos agora.
Assistem a esportes e novelas 220 pessoas, mas destas 100 já foram indicadas em (1); logo, assistem a apenas esportes e novelas 220−100=120 pessoas.
Assistem a esportes e humorismo 180 pessoas, mas destas 100 também já foram indicados em (1); logo, assistem a apenas esportes e humorismo 180−100=80 pessoas.
Assistem a novelas e humorismo 800 pessoas, mas destas 100 também já foram indicados em (1); logo, assistem a apenas novelas e humorismo 800−100=700 pessoas.
(3) Agora vamos nos preocupar com os dados relativos aos telespectadores que assistem a apenas um dos três tipos de programa da pesquisa.
Segundo os dados, 400 pessoas assistem a esportes: dessas 100 assistem aos três tipos de programas, 120 assistem a apenas "esportes e novelas" e 80 apenas a "esportes e humorismo". Portanto, assistem somente a programas de esporte 400−100−120−80=100 pessoas.
Os dados indicam que 1220 pessoas assistem a novelas e dessas 100 assistem aos três tipos de programas, 120 assistem a apenas "esportes e novelas" e 700 a apenas "novelas e humorismo"; portanto, assistem somente a novelas 1220−100−120−700=300 pessoas.
Finalmente, temos que 1080 pessoas assistem a programa de humor. Dessas 100 assistem aos três tipos de programas, 80 assistem apenas a "humor e esportes" e 700 apenas a "novelas e humorismo"; logo, assistem somente a programas de humor 1080−100−80−700=200 pessoas.
Excluindo do total de 1800 pessoas aquelas já distribuídas no diagrama, conseguimos o número de pessoas que não assistem a nenhum dos três programas: 1800−100−120−80−700−100−300−200=200 pessoas.
A alternativa correta é a A.
Problema 5: O Departamento de Economia de uma determinada instituição de ensino resolveu fazer um estudo sobre as dificuldades dos seus alunos matriculados no primeiro semestre, visando o oferecimento de monitores para auxiliar na resolução de exercícios. Foi feita uma pesquisa com 800 alunos e foram obtidos os seguintes dados:
Disciplina A: 490 alunos apontaram dificuldades.
Disciplina B: 320 alunos apontaram dificuldades.
Disciplina C: 160 alunos apontaram dificuldades.
Disciplinas A e C: 90 alunos apontaram dificuldades.
Disciplinas A e B: 22 alunos apontaram dificuldades.
Disciplinas B e C: 78 alunos apontaram dificuldades.
Todos os alunos apontaram dificuldades em pelo menos uma dessas disciplinas.
Determinar a quantidade de alunos com dificuldades nas três disciplinas simultaneamente.
Não temos dados suficientes para preencher um diagrama de Venn e calcular a quantidade de alunos com dificuldades nas três disciplinas. Vamos então indicar essa quantidade por x e tentar preencher um diagrama de Venn, em função dessa quantidade x. Observe que:
800 alunos participaram da pesquisa e 800 alunos têm dificuldades em pelo menos uma das disciplinas.
Como 22 alunos apontam dificuldades em A e B e x têm dificuldades em A, B e C, 22−x alunos têm dificuldades em A e B e não em C.
Como 90 alunos apontam dificuldades em A e C e x têm dificuldades em A, B e C, então 90−x alunos têm dificuldades em A e C e não em B.
Como 78 alunos apontam dificuldades em B e C e x têm dificuldades em A, B e C, então 78−x alunos têm dificuldades em B e C e não em A.
490 alunos apontam dificuldades em A, mas x têm dificuldades em A, B e C; 22−x têm dificuldades só em A e B e 90−x têm dificuldades só em A e C; logo, 490−x−(22−x)−(90−x)=378+x têm dificuldades apenas em A .
320 alunos apontam dificuldades em B, mas x têm dificuldades em A, B e C; 22−x têm dificuldades só em A e B e 78−x têm dificuldades só em B e C; logo, 320−x−(22−x)−(78−x)=220+x têm dificuldades apenas em B .
160 alunos apontam dificuldades em C, mas x têm dificuldades em A, B e C; 90−x têm dificuldades só em A e C e 78−x têm dificuldades só em B e C; logo, 160−x−(90−x)−(78−x)=x−8 têm dificuldades apenas em C .
Pronto, temos o nosso diagrama!
Observe que a soma de todas as quantidades parciais é 800, assim: 800=x+(22−x)+(90−x)+(78−x)+(378+x)+(220+x)+(x−8) 800=780+x x=20.
Sendo assim, temos que 20 alunos apresentaram dificuldades nas três disciplinas.
Problema 6: Em um navio de cruzeiro viajam 1.200 pessoas, das quais:
23 não bebem.
45 não fumam.
680 não bebem e não fumam.
Quantas das pessoas que estão nesse navio bebem e fumam?
Solução 1:
Já que o problema pede o número de pessoas que bebem e fumam, vamos converter os dados do problema.
Se 23 das pessoas do navio não bebem, então 13 bebem.
Como estão 1200 pessoas no navio, 12003=400 bebem.
Se 45 das pessoas do navio não fumam, então 15 fumam.
Como estão 1200 pessoas no navio, 12005=240 fumam.
Faremos um diagrama de Venn a partir desses novos dados. Para isso, vamos supor que x seja o número de pessoas do navio que fumam e bebem; assim:
como 400 pessoas bebem e x "fumam e bebem", então 400−x só bebem.
como 240 pessoas fumam e x "fumam e bebem", então 240−x só fumam.
680 pessoas não bebem e não fumam, segundo os dados do problema.
Observamos pelo diagrama que 1200=x+(400−x)+(240−x)+680 e, com isso: 1200=x+400−x+240−x+680 1200=1320−x x=1320−1200 x=120.
Portanto, no navio há 120 pessoas que bebem e fumam.
Solução 2:
Vamos calcular a quantidade correspondente aos 23 dos passageiros que não bebem e os 45 que não fumam:
23 de 1200: \qquad \dfrac{2}{3} \, 1200=\dfrac{2 \times \cancel{1200}}{\cancel{3}}=2\times 400=800
Então, 800 passageiros não bebem.
\dfrac{4}{5} de 1 \, 200: \qquad \dfrac{4}{5} \, 1200=\dfrac{4 \times \cancel{1200}}{\cancel{5}}=4\times 240=960
Então, 960 passageiros não fumam.
\textcolor{#800000}{(i)} Com o auxílio da figura abaixo, perceba que:
o conjunto dos passageiros que não bebem é o complementar do conjunto dos passageiros que bebem
o "conjunto dos passageiros que não bebem" contém o "conjunto dos passageiros que não bebem e que não fumam".
Dessa forma, a diferença 800-680=120 é o número de passageiros que fumam e não bebem.
\textcolor{#800000}{(ii)} Agora, com o auxílio da próxima figura, perceba que:
o conjunto dos passageiros que não fumam é o complementar do conjunto dos passageiros que fumam
o "conjunto dos passageiros que não fumam" contém o "conjunto dos passageiros que não bebem e que não fumam".
Dessa forma, a diferença 960-680=280 é o número de passageiros que bebem e não fumam.
Dessa forma, se denotarmos por m o número de passageiros que fumam e bebem, teremos o próximo diagrama.
Esse gráfico nos mostra que: \qquad 1200=280+m+120+680 \qquad 1200=1080+m \qquad m=1200-1080 \qquad \boxed{m=120} \, .
Portanto, no navio existem \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$} pessoas que bebem e fumam.
Problema 7: (ENEM 2013) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? \qquad(A) \, \dfrac{1}{2}. \qquad(B) \, \dfrac{5}{8}. \qquad(C) \, \dfrac{1}{4}. \qquad(D) \, \dfrac{5}{6}. \qquad(E) \, \dfrac{5}{14}.
Neste caso, sabemos que:
a probabilidade é dada pelo quociente entre o “número de casos favoráveis” e “número total de casos”:
P=
número de casos favoráveis
número de casos possíveis
o espaço amostral do problema é formado pelos alunos da escola que não falam inglês; portanto, o número de casos possíveis é a "quantidade de alunos da escola que não falam inglês";
o número casos favoráveis é a "quantidade de alunos da escola que não falam inglês e falam espanhol".
Utilizaremos um diagrama de Venn para visualizarmos melhor os dados do problema e calcularmos essas duas quantidades. Vamos lá!
Dos 1 \, 200 alunos da escola, 300 não falam nenhuma língua; logo, 1200-300 = 900 alunos falam pelo menos uma língua. Desses, 600 falam inglês, 500 falam espanhol e certa quantidade, que denotaremos por x \, , falam as duas línguas.
Vamos montar o nosso diagrama de Venn a partir dessas duas informações. Nesse diagrama:
► I indicará o conjunto dos alunos da escola que falam inglês;
► E indicará o conjunto dos alunos da escola que falam espanhol;
► A indicará o conjunto universo, ou seja, o conjunto de todos os alunos da escola.
Observe que:
Como 600 alunos falam inglês e x \, falam "inglês e espanhol", então 600-x alunos falam somente inglês.
Como 500 alunos falam espanhol e x \, falam "inglês e espanhol", então 500-x alunos falam somente espanhol .
Sendo assim, segue que: \qquad (600-x)+(500-x)+x+300=1200 \qquad 1400-x=1200 \qquad \boxed{x=200} \, .
Com isso, finalizamos o nosso diagrama de Venn e podemos calcular a probabilidade solicitada no problema:
Casos possíveis: alunos da escola que não falam inglês \qquad cp= \textcolor{red}{300} + \textcolor{#FFA500}{300} \qquad \boxed{cp=600}
ou, de outra forma, \qquad cp= 1200 -(\textcolor{00BFFF}{400}+200) \qquad \boxed{cp=600} \, .
Casos favoráveis: alunos da escola que não falam inglês e falam espanhol \qquad \boxed{cf=300} \, .
Problema 8: (Vunesp 2014) Três conjuntos, A, \, B e C \, , têm um total de 40 elementos. Sabe-se que 7 elementos pertencem apenas ao conjunto A, 10 elementos, apenas ao conjunto B, 13 elementos, apenas ao conjunto C, e pelo menos um elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos. Os demais elementos podem pertencer ou a dois desses conjuntos ou aos três conjuntos. Desse modo, a maior diferença possível da quantidade total de elementos de certo conjunto em relação à quantidade total de elementos de outro conjunto é: \qquad(A) \, 4. \qquad (B) \, 17. \qquad (C) \, 6. \qquad (D) \, 15. \qquad (E) \, 27.
Vamos utilizar um diagrama com três conjuntos e preenchê-lo de acordo com os dados do problema:
7 elementos pertencem apenas ao conjunto A \, .
10 elementos pertencem apenas ao conjunto B \, .
13 elementos pertencem apenas ao conjunto C \, .
Pelo menos um elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos: já vamos marcá-lo na respectiva região, embora não saibamos ainda se existem outros elementos que pertencem simultaneamente aos três conjuntos.
Como os três conjuntos juntos têm 40 elementos e os demais elementos ainda não distribuídos pertencem a dois ou a três dos conjuntos A, \, B,C \, , então o conjunto universo do problema tem 40 elementos e o número de elementos que não pertencem a A, nem a B e nem a C é zero.
Para o preenchimento de três das regiões definidas no diagrama não temos informações.
Note que faltam ser distribuídos entre as regiões assinaladas com o símbolo de interrogação (?) um total de 40-(7+10+13+1)=9 elementos.
A distribuição desses 9 elementos deve ser feita de modo que "a diferença entre a quantidade total de elementos de um dos três conjuntos e quantidade total de elementos de outro dos três conjuntos" seja a maior possível. E para que isso aconteça devemos fazer a diferença entre os conjuntos que, após a distribuição, ficarem com a maior e a menor quantidade de elementos.
Vamos então determinar a quantidade de elementos que cada um dos conjuntos A, \, B e C têm até o momento:
Conjunto A: \, \textcolor{#FF0000}{7}+\textcolor{#FF8C00}{1}=8 elementos;
Conjunto B: \, \textcolor{#0000FF}{10}+\textcolor{#FF8C00}{1}=11 elementos;
Conjunto C: \, \textcolor{#228B22}{13}+\textcolor{#FF8C00}{1}=14 elementos.
Antes da distribuição o conjunto A tem o menor número de elementos e C \, , o maior; dessa forma, observamos que: (1) Se o conjunto C receber os nove elementos, ele ficará com a maior quantidade possível de elementos que um dos três conjuntos deve ter: 14+9=23 elementos. (2) Se o conjunto A não receber mais elementos, ele ficará com a menor quantidade possível de elementos que um dos três conjuntos deve ter: 8 elementos.
Finalizando, os nove elementos devem então ficar na região correspondente à interseção \boxed{C \cap B} e, com isso, fechamos a distribuição dos 9 elementos entre as regiões internas do nosso diagrama de Venn!
Portanto, a maior diferença possível solicitada no problema será dada por \qquad\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(13+9+1)-8=15$} \,
e a alternativa correta é a (D).
Problema 9: (UFBA – adaptado) Numa academia de ginástica que oferece várias opções de atividades físicas, foi feita uma pesquisa para saber o número de pessoas matriculadas em alongamento, hidroginástica e musculação, chegando-se ao resultado expresso na tabela a seguir:
Com base nessas informações, verifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras. (01) A pesquisa envolveu 500 pessoas. (02)61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento. (03)89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela. (04) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28,4\% do total de pessoas envolvidas na pesquisa.
Vamos analisar os dados fornecidos pelo problema e construir um diagrama de Venn para verificar a veracidade de cada uma das quatro afirmações.
Faremos o preenchimento do diagrama iniciando com os dados mais restritivos:
Grupo de alunos que praticam as três modalidades: 5 alunos.
São 25 alunos que praticam alongamento e hidroginástica; mas, destes, 5 também praticam musculação. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas alongamento e hidroginástica é composto de 25-5=20 alunos.
São 28 alunos que praticam alongamento e musculação; mas, destes, 5 também praticam hidroginástica. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas alongamento e musculação é composto de 28-5=23 alunos.
São 41 alunos que praticam hidroginástica e musculação; mas, destes, 5 também praticam alongamento. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas hidroginástica e musculação é composto de 41-5=36 alunos.
São 109 alunos que fazem alongamento; mas, destes, podemos retirar 20 que também fazem hidroginástica, 23 que também praticam musculação e 5 que fazem as três modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente alongamento é composto de 109-20-23-5=61 alunos.
Dos 203 alunos que fazem hidroginástica, podemos desconsiderar os 20 que também fazem alongamento, os 36 que também praticam musculação e os 5 que fazem as três modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente hidroginástica é composto de 203-20-36-5=142 alunos.
Dos 162 alunos que fazem musculação, podemos descontar os 23 que também fazem alongamento, os 36 que também praticam hidroginástica e os 5 que fazem as três modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente musculação é composto de 162-23-36-5=98 alunos.
Temos ainda 115 alunos que fazem outras modalidades.
A partir dessas informações, podemos montar o seguinte diagrama de Venn
e iniciar a análise das quatro afirmações. (01) A pesquisa envolveu 500 pessoas.
Somando todos os valores que aparecem no diagrama, temos: \qquad 142 + 20 + 5 + 36 + 23 + 61 + 98 + 115 = 500.
Assim, a afirmação é verdadeira, pois a pesquisa envolveu, de fato, 500 pessoas.
(02)61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento.
Analisando o diagrama, observamos que afirmação é verdadeira.
(03)89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela.
Os que foram matriculados em pelo menos duas das atividades são aqueles que aparecem nas intersecções: \qquad 36 + 23 + 20 + 5 = 84.
Com isso, são 84 pessoas praticando, pelo menos, duas das atividades. Portanto, a afirmação é falsa.
(04) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28,4\% do total de pessoas envolvidas na pesquisa.
Considerando o total de 500 alunos entrevistados como 100\%, vamos determinar a porcentagem correspondente a 142, que é o número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica. Para isso, utilizaremos uma regra de três simples.
500
—————————-
100\%
Temos que \boxed{500x=142\cdot 100}; donde \boxed{x =\dfrac{14200}{500}=28,4}.
142
—————————-
x\%
Assim, a porcentagem correspondente às pessoas matriculadas apenas em hidroginástica é 28,4\%, o que mostra que a afirmação é verdadeira.
(3) Essa observação pode ser estendida a quatro ou mais conjuntos de um conjunto universo; no entanto fica visualmente complicado trabalhar com mais de três conjuntos, além do universo.
Observe que:
