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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Sejam [tex]\boxed{ x=4\cdot 18^n}[/tex] e [tex] \boxed{y=18 \cdot 4^n}[/tex] números naturais, com [tex]n \in \mathbb{N}.[/tex]
Se [tex]x[/tex] tem [tex]88[/tex] divisores naturais, quantos divisores naturais tem [tex]y[/tex]?
Ajuda – Número de divisores
Se [tex]m[/tex] é um número natural não nulo cuja decomposição como produto de potências de primos é
[tex]\qquad \qquad m=p_1^{n_1}\, p_2^{n_2}\, p_3^{n_3}\, \cdots\, p_r^{n_r}[/tex],
então o número de divisores naturais de [tex]m[/tex] é
[tex]\quad \qquad \quad (n_1+1)\cdot(n_2+1)\cdot(n_3+1)\cdot\, \cdots\, \cdot(n_r+1)\,.[/tex]
(Se você não se lembra desse resultado, clique AQUI.)
Solução 1
Como
[tex]\qquad x=4\cdot 18^n=\left(2^2\right) \cdot \left(2 \cdot 3^2\right)^n=2^2 \cdot 2^n \cdot 3^{2n}=2^{2+n} \cdot 3^{2n}[/tex],
então o número de divisores de [tex]x[/tex] é
[tex]\qquad d=((2+n)+1) \cdot (2n+1)=(3+n) \cdot (2n+1)[/tex] .
Assim, como [tex] d=88[/tex], segue que
[tex]\qquad (3+n) \cdot (2n+1)=88[/tex]
[tex]\qquad 6n+3+2n^2+n=88[/tex]
[tex]\qquad 2n^2+7n-85=0[/tex]
[tex]\qquad n=\dfrac{-7 \pm\sqrt{49+680}}{4}[/tex]
[tex]\qquad n=\dfrac{-7 \pm\sqrt{729}}{4}[/tex]
[tex]\qquad n=\dfrac{-7 \pm 27}{4}[/tex]
[tex]\qquad n_1=\dfrac{-7 +27}{4}\, ;\, n_2=\dfrac{-7 -27}{4}[/tex]
[tex]\qquad n_1=5\, ;\, n_2=\dfrac{-17}{2}[/tex] .
Como [tex]n[/tex] é um número natural, então [tex]n=5[/tex] e, assim,
[tex] \qquad y=18 \cdot 4^n=18 \cdot 4^5=\left(2\cdot 3^2\right) \cdot\left(2^2 \right)^5=2^{11}\cdot 3^2[/tex].
Portanto, [tex]y[/tex] tem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ (11+1) \cdot (2+1)=12 \cdot 3=36$} [/tex] divisores naturais.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Como
[tex]\qquad x=4\cdot 18^n=\left(2^2\right) \cdot \left(2 \cdot 3^2\right)^n=2^2 \cdot 2^n \cdot 3^{2n}=2^{2+n} \cdot 3^{2n}[/tex],
então o número de divisores de [tex]x[/tex] é
[tex]\qquad d=((2+n)+1) \cdot (2n+1)=(3+n) \cdot (2n+1)[/tex].
Assim, como [tex] d=88[/tex], segue que
[tex] \qquad (3+n) \cdot (2n+1)=88[/tex]
[tex] \qquad (3+n) \cdot (2n+1)=2^3 \cdot 11.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Perceba que [tex]2n+1[/tex] é um número ímpar; assim, de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], concluímos que temos apenas duas possibilidades para [tex]2n+1[/tex]: [tex]\boxed{2n+1=1}[/tex] ou [tex]\boxed{2n+1=11}.[/tex]
Mas, se [tex]2n+1=1[/tex], necessariamente [tex]n=0[/tex] e, neste caso, [tex]x=4[/tex]. Só que o número [tex]4[/tex] não tem [tex]88[/tex] divisores; logo [tex]2n+1[/tex] não pode ser [tex]1[/tex]. Portanto, [tex]2n+1=11[/tex] e, com isso, [tex]n=5.[/tex]
Consequentemente,
[tex] \qquad y=18 \cdot 4^n=18 \cdot 4^5=\left(2\cdot 3^2\right) \cdot\left(2^2 \right)^5=2^{11}\cdot 3^2[/tex],
e, então, [tex]y[/tex] tem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ (11+1) \cdot (2+1)=12 \cdot 3=36$} [/tex] divisores naturais.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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