.Desafio: Equação de Markov

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

A equação
$\hspace{2cm} x^2+y^2+z^2=3xyz$
é conhecida como equação de Markov e é um caso particular das chamadas equações diofantinas^(*).
A equação de Markov tem inúmeras aplicações em Teoria dos Números e em outros ramos da Matemática.
Prove que esta equação possui infinitas soluções naturais positivas.

^(*)Uma equação Diofantina é uma equação polinomial com coeficientes inteiros na qual as variáveis assumem apenas valores inteiros.

Lembrete

Uma das relações de Girard para polinômios de grau $n$ nos assegura que a soma $S$ das raízes do polinômio $\boxed{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0}$ , $a_n\neq0$ , é dada por $\boxed{S=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}}$ .

Particularmente, em uma equação do segundo grau $\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0=0}$ , $a_2\neq 0$ , a soma $S$ de suas raízes é dada por $\boxed{S=-\dfrac{a_{1}}{a_2}}\,.$

Para conhecer um pouco sobre as relações de Girard para equações do segundo grau, cliquem AQUI

Solução

Primeiramente veremos como, a partir de uma solução $x=a\, ,\, y=b\,,\,z=c$ de naturais positivos dada, construir outra solução que seja diferente desta.

Suponhamos então que $x=a\,,\, y=b\,,\,z=c$ seja uma solução da equação de Markov. Como a equação é totalmente simétrica em relação às três incógnitas, podemos supor que $a\leq b\leq c$ . Desta maneira, uma das raízes da equação do segundo grau
$\qquad x^2-3bcx +b^2+c^2=0$
é $a$ .
A outra raiz pode ser encontrada levando-se em consideração que, numa equação do segundo grau, a soma das raízes é sempre igual ao simétrico do coeficiente em $x$ dividido pelo coeficiente em $x^2$ , conforme exposto no Lembrete.
Assim, a soma das duas raízes, neste caso, é $\dfrac{3bc}{1}=3bc$ . Como uma das raízes é $a$ , a outra raiz é $3bc-a$ .

Portanto, o terno $(3bc-a\,,\,b\,,\,c)$ também é uma solução da equação de Markov. Vamos mostrar que esta solução é positiva e diferente da anterior.

Entre os três números $a, b$ e $c$ , o valor máximo é o de $c$ e, como os números $a, b$ e $c$ são naturais positivos, segue que
$\qquad 3bc-a-c\geq 3\cdot 1 \cdot c-c-c=3c-2c=c\gt 0.$
Portanto, $3bc-a\gt c$ e construímos uma solução positiva que é diferente da anterior, pois nesta o maior termo é $3bc-a$ , não $c$ .

É simples ver que $(1,1,1)$ é uma solução da equação de Markov, pois $1^2+1^2+1^2=3\cdot 1\cdot 1\cdot 1$ . Com esta solução podemos construir, com o método do parágrafo anterior, uma sucessão de soluções com maior termo maior do que o maior termo da solução anterior. Portanto, a equação de Markov possui infinitas soluções formadas por números naturais positivos.
Dessa forma, observando que:

$\textcolor{#800000}{(i)}$

$(a\,,\,b\,,\,c)$

$(3bc-a\,,\,b\,,\,c)$

$\textcolor{#800000}{(ii)}$

$(a\,,\,b\,,\,c)$

$(a\,,\,c\,,\,b\,)\,$

$(b\,,\,a\,,\,c\,)\,$

$(b\,,\,c\,,\,a\,)\,$

$(c\,,\,a\,,\,b\,)\,$

$(c\,,\,b\,,\,a\,)$

podemos encontrar facilmente infinitas soluções para a equação de Markov como, por exemplo:

$(1,1,1) \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow} (2,1,1)\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{\longrightarrow}\,(1,1,2)\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\,(5,1,2)\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{\longrightarrow}\,(1,2,5)\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\\ \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\,(29,2,5)\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{\longrightarrow} \,(2,5,29) \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow} (433,5,29)\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{\longrightarrow}\,(5,29,433)\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\\ \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\,(37\,666,29,433)\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{\longrightarrow}\,(29,433,37\,666)\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{\longrightarrow}\cdots\,.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.