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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
(ONEM 2010 – Adaptado) Vamos trabalhar no conjunto dos números reais, utilizando uma operação diferente das habituais.
Essa operação, indicada por [tex]\triangle[/tex], será assim definida:
[tex]\qquad \qquad \quad \boxed{ \, x \triangle y= x^2+y \, } \, .[/tex]
(a) Determine [tex]5 \triangle 1[/tex].
(b) Existe um número real [tex]a[/tex] tal que [tex]a \triangle b=b[/tex], para todo número real [tex]b[/tex]?
(c) Se [tex]r_1 \, [/tex] e [tex] \, r_2[/tex] são as raízes da equação [tex]\boxed{(2x)\triangle 1+1\triangle (2x)=x\triangle 2}[/tex], determine o valor de [tex]r_1+r_2[/tex].
Solução
(a) Utilizando a definição da operação [tex]\triangle [/tex], temos que:
[tex]\qquad 5 \triangle 1=5^2+1[/tex]
[tex]\qquad 5 \triangle 1=25+1[/tex]
[tex]\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5 \triangle 1=26$} \, .[/tex]
(b) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números reais.
Note que
[tex]\qquad \qquad \quad \quad a \triangle b=b \Leftrightarrow a^2+b=b \Leftrightarrow a^2=0 \Leftrightarrow a=0 \, .[/tex]
Assim, se [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=0$} \, [/tex], então [tex]a \triangle b=b[/tex] para todo número real [tex]b \, .[/tex]
(c) Sejam [tex]r_1 \, [/tex] e [tex] \, r_2[/tex] raízes da equação [tex](2x)\triangle 1+1\triangle (2x)=x\triangle 2 \, .[/tex]
Como
[tex]\quad \begin{align*}\boxed{(2x)\triangle 1+1\triangle (2x)=x\triangle 2} &\Leftrightarrow \left(\left(2x\right)^2+1\right)+ \left(1^2+2x\right)=x^2+2 \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \boxed{3x^2+2x=0} \, , \end{align*}[/tex]
então [tex]r_1 \, [/tex] e [tex] \, r_2[/tex] são raízes da equação [tex]3x^2+2x=0 \, .[/tex]
Mas sabemos que
[tex]\qquad \qquad \quad\boxed{3x^2+2x=0} \Leftrightarrow x\cdot(3x+2)=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=-\frac{2}{3} \, [/tex];
portanto, as raízes da equação [tex]\boxed{3x^2+2x=0}[/tex] são [tex]\boxed{ 0 \text{ e } -\frac{2}{3}} \, [/tex], que são também as raízes da equação [tex]\boxed{(2x)\triangle 1+1\triangle (2x)=x\triangle 2} \, .[/tex]
Dessa forma, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$r_1+r_2=0-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3}$}[/tex].
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