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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Se [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números naturais não nulos e distintos tais que [tex]a\gt 4[/tex], [tex]b \gt 5[/tex] e [tex]c \lt 7[/tex], qual é o menor valor do número [tex]a+b-c \, ?[/tex]
Solução
Observe que, como [tex]a\gt 4[/tex], [tex]b \gt 5[/tex] e [tex]c \lt 7[/tex] e os três números são naturais, então
[tex]\qquad \quad a \geqslant 5 \, [/tex],
[tex]\qquad \quad b \geqslant 6 \, [/tex],
[tex]\qquad -c \geqslant -6 \, [/tex],
donde, somando termo a termo as três desigualdades, segue que
[tex]\qquad a+b-c \geqslant 5+6-6 \, [/tex]
e assim
[tex]\qquad \boxed{a+b-c \geqslant 5} \, .\quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Por outro lado, o menor valor de [tex]a+b-c[/tex] ocorre quando [tex]a+b[/tex] assume o menor valor possível e [tex] \, c \, [/tex], o maior.
- O menor valor de [tex]a+b[/tex] ocorre quando [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] assumem, respectivamente, os menores valores possíveis. Como [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] são números naturais tais que [tex]a\geqslant 5[/tex], [tex]b \geqslant 6[/tex], então os menores valores possíveis para [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] são [tex]a=5 \, [/tex] e [tex] \, b=6[/tex].
- Como [tex]c[/tex] é também um número natural e [tex]c \lt 7[/tex], então o maior valor possível para [tex]c[/tex] é [tex]c=6[/tex].
Com esses valores, teríamos [tex]a+b-c=5+6-6=5[/tex], mas perceba que [tex]b=c=6[/tex], o que contraria a hipótese de que [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são distintos. Logo,
[tex]\qquad a+b-c\ne 5.\quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Por [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que
[tex]\qquad \boxed{a+b-c \geqslant 6} \, .[/tex]
Finalmente, note que se [tex]a=5[/tex], [tex]b=7[/tex] e [tex]c=6[/tex], então [tex]a+b-c=5+7-6=6[/tex] e [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números naturais não nulos e distintos. Assim, o número mínimo buscado é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6$} \, .[/tex]
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