.Problema: Bolinhas de gude

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Noemi possui uma coleção de bolinhas de gude que estão numeradas de [tex]1[/tex] a [tex]2017[/tex]. Ela decide separá-las em duas caixas inicialmente vazias.
Em uma caixa A ela colocou as bolinhas com os números múltiplos de [tex]5[/tex] ou de [tex]7[/tex] e em uma caixa B colocou o restante das bolinhas.
Quantas bolinhas de gude há na caixa B?

Solução

• Os naturais múltiplos de [tex]5[/tex] são os números da sequência:[tex] \, \boxed{0 \, , \, 5 \, , \, 10 \, , \, 15 \, , \, \ldots} \, [/tex].

Como
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
2017 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 5 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \quad \begin{array}{r}
2
\end{array}\begin{array}{r}
\quad 403
\end{array}[/tex]

os múltiplos de [tex]5[/tex] de [tex]1[/tex] a [tex]2017[/tex] são [tex] 5 \, , \, 10 \, , \, 15,\ldots \, , \, 2015 \, [/tex] e esses números podem ser escritos assim:

• [tex]5\times 1 \, ; \, 5\times 2 \, ; \, 5\times 3 \, ; \, \ldots \, ; \, 5\times 403[/tex].

Logo, existem na caixa A [tex] \, 403 \, [/tex] bolinhas cuja numeração é múltipla de [tex]5[/tex].

• Por outro lado, os naturais múltiplos de [tex]7[/tex] são [tex] \, \boxed{0 \, , \, 7 \, , \, 14 \, , \, 21 \, , \, \ldots} \, [/tex] e

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
2017 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 7 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \quad \begin{array}{r}
1
\end{array}\begin{array}{r}
\quad 288
\end{array}[/tex]
Dessa forma, os múltiplos de [tex]7[/tex] de [tex]1[/tex] a [tex]2017[/tex] são [tex]7 \, , \, 14 \, , \, 21 \, , \, \ldots \, ; \, 2016 \, [/tex] e podem ser escritos assim:

• [tex]7\times 1 \, ; \, 7\times 2 \, ; \, 7\times 3 \, ; \, \ldots \, ; \, 7\times 288 \, .[/tex]

Então existem [tex] \, 288 \, [/tex] bolinhas cuja numeração é múltipla de [tex]7[/tex] na caixa A.

Não podemos simplesmente somar a quantidade de múltiplos de [tex]5[/tex] com a quantidade de múltiplos de [tex]7[/tex] para finalizar o problema, pois existem números que são simultaneamente múltiplos de [tex]5[/tex] e de [tex]7[/tex] e aí estaríamos contando algumas bolinhas duas vezes. Vamos, então, determinar a quantidade desses múltiplos simultâneos de [tex]5[/tex] e de [tex]7[/tex].
Perceba que, como [tex]5[/tex] e [tex]7[/tex] são primos entre si, dizer que um número é múltiplo de [tex]5[/tex] e [tex]7[/tex] simultaneamente é equivalente a dizer que o número é múltiplo de [tex]35[/tex]. Logo, basta analisar, agora, quantas bolinhas de gude possuem numeração múltipla de [tex]35.[/tex]

• Sabemos que

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
2017 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 35 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \quad \begin{array}{r}
22
\end{array}\begin{array}{r}
\quad 57
\end{array}[/tex]
então, os números múltiplos de [tex]35[/tex] de [tex]1[/tex] a [tex]2017[/tex] são:[tex] \, 35 \, , \, 70 \, , \, 105 \, , \, \ldots \, , \, 1995[/tex]. De outro modo, são os números

• [tex]35\times 1 \, ; \, 35\times 2 \, ; \, 35\times 3 \, ; \, \ldots \, ; \, 35\times 57[/tex]

e existem, portanto, [tex]57[/tex] números múltiplos de [tex]5[/tex] e [tex]7[/tex] simultaneamente de [tex]1[/tex] a [tex]2017[/tex].

Pelo exposto, para a contagem da quantidade de bolas na caixa A, basta fazermos [tex]403+288-57=634[/tex].
Finalmente, como existem [tex]634[/tex] bolas na caixa A, na caixa B existirão [tex]2017-634=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1383$} \, [/tex] bolas de gude.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.