.Uma curiosidade: O poder do número 4

O poder do número 4

Você já imaginou gerar qualquer número natural usando um único número? Pois dizem que isso é possível utilizando apenas o número 4 e algumas operações matemáticas.

Quem apresentou esse problema foi Júlio César de Mello e Souza, mais conhecido pelo seu pseudônimo, Malba Tahan. Ele foi um professor, educador, pedagogo, conferencista, matemático e escritor do modernismo brasileiro. Através de seus romances infanto-juvenis, foi um dos maiores divulgadores da Matemática no Brasil! Para conhecer um pouco mais, visite sua biografia em nossa biblioteca.

Imagem extraída de Wikipédia. (Acesso em 29/11/25)

Malba Tahan escreveu mais de 55 livros. Dentre eles, um dos mais conhecidos foi “O Homem que Calculava”, onde conta a história fictícia de Beremiz Samir, um calculista persa. Neste livro, é apresentado o problema dos 4 quatros.

O problema (ou jogo, como queira), consiste em conseguir formar números naturais apenas utilizando 4 números quatros e operações aritméticas entre eles, sendo elas:

• Adição ([tex]+[/tex]),
• Subtração ([tex]−[/tex]),
• Multiplicação ([tex]\times[/tex]),
• Divisão ([tex]\div[/tex]),
• Exponenciação ([tex]x^n[/tex]),
• Radiciação ([tex]\sqrt{}[/tex]),
• Logaritmo ([tex]\log{}[/tex]),
• Fatorial ([tex]n![/tex]),
• Termial ([tex]n?[/tex]),

além do uso de parênteses, colchetes e chaves.

Segundo Malba Tahan, é possível formar todos os números naturais entre 0 e 100. Observe abaixo alguns exemplos e perceba, inclusive, que existe mais de uma forma de resolver o desafio para cada número:

• [tex]\boxed{0}=44-44=4-4+4-4[/tex],
• [tex]\boxed{1}=\dfrac{4}{4}\times \dfrac{4}{4}=\dfrac{4+4}{4+4}[/tex],
• [tex]\boxed{2}=\dfrac{4-4}{4}+\sqrt4=\dfrac{4\times4}{4+4}[/tex],
• [tex]\boxed{3}=\dfrac{4+4+4}{4}=\sqrt{4}+\sqrt{4}-\dfrac{4}{4}[/tex],
• [tex]\boxed{4}=\dfrac{4\times 4}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\dfrac{4-4}{4}+4[/tex].

Convide seus colegas para preencherem a tabela abaixo com pelo menos uma solução do problema para cada número:

O desafio de formar todos os números naturais entre 0 e 100 incentivou entusiastas que o resolveram para além dos 10.000 primeiros naturais.

A incrível resposta é SIM!

Uma solução geral para o problema dos 4 quatros foi proposta por Rui Chammas e Roger Chammas na Revista do Professor de Matematica nº4:
[tex]
\qquad n
=
\log_{\frac{\sqrt{4}}{4}}\left(\log_{4}
\underbrace{
\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}
}_{n\ \text{radicais}}
\right).
[/tex]

A prova desta igualdade se dá pelas propriedades de potências e logaritmos:

[tex]
\qquad n = \log_{\frac12}\left(\left(\frac12\right)^n\right)\\
\qquad \quad = \log_{\frac12}\left(\log_{4} 4^{\left(\frac12\right)^n}\right)\\
\qquad \quad = \log_{\frac{\sqrt{4}}{4}}\bigl(\log_{4} 4^{\left(\frac12\right)^n}\bigr)\\
\qquad \quad = \log_{\frac{\sqrt{4}}{4}}\left(\log_{4}
\underbrace{
\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}
}_{n\ \text{radicais}}
\right).
[/tex]

Vamos tornar o jogo um pouco mais desafiador, introduzindo a ideia de dificuldade da solução. O novo desafio é obter os números naturais com os 4 quatros utilizando a menor pontuação possível, de acordo com os seguintes pesos:

• Adição ([tex]+[/tex]) – 1 ponto,
• Subtração ([tex]−[/tex]) – 2 pontos,
• Multiplicação ([tex]\times[/tex]) – 3 pontos,
• Divisão ([tex]\div[/tex]) – 4 pontos,
• Exponenciação ([tex]x^n[/tex]) – 5 pontos,
• Radiciação ([tex]\sqrt{}[/tex]) – 6 pontos,
• Logaritmação ([tex]\log{}[/tex]) – 7 pontos,
• Fatorial ([tex]n![/tex]) – 8 pontos,
• Termial ([tex]n?[/tex]) – 9 pontos.

Assim, por exemplo, a solução [tex]1=\dfrac{4+4}{4+4}[/tex] tem dificuldade [tex]2\times 1+4=6[/tex] (duas adições e uma divisão), enquanto a solução [tex]1=\dfrac{4}{4}\times \dfrac{4}{4}[/tex] tem dificuldade [tex]3+2\times 4=11[/tex] (uma multiplicação e duas divisões).

Divirtam-se se superando!

COM União Fibonacci

Equipe COM – OBMEP