.Problemão: Uma soma diferente

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

Perguntado sobre quantos alunos ele tinha naquele ano, um professor escreveu no quadro:
       ► 440 alunos, dos quais 153 são meninos e 276 meninas.
Inicialmente a resposta nos pareceu estranha, mas logo compreendemos que o professor não empregou o sistema decimal.

Qual sistema de numeração ele usou?

Extraído de Uma Grosa de Problemas de Matemática – III Bienal da SBM, 2006.

Solução 1

Sistema de base 9.
Verifiquemos as somas:

► Tirando [tex]9[/tex] da soma [tex](3+6)[/tex] fica [tex]0[/tex];
► acrescentando [tex]1[/tex] na soma [tex](5+7)[/tex] e tirando [tex]9[/tex] fica [tex]4[/tex];
► acrescentando [tex]1[/tex] na soma [tex](1 +2)[/tex] fica [tex]4[/tex].

Solução elaborada pelo Clube MIRIM APRENDIZ.

Solução 2

Este é um problemão para quem não conhece ou não domina outras bases numéricas…
Entretanto, aqueles com razoável conhecimento do tema, e com um pouco de observação, podem concluir que, por contarmos com até o algarismo 7, tratamos com uma base que é, no mínimo, 8.
Ainda, como a soma dos algarismos das unidades das parcelas (6 e 3) resulta em 0, a base 9 passa a ser candidata em potencial…
De fato, sabemos que:

• [tex](440)_9=(360)_{10}[/tex], [tex](153)_9=(129)_{10}[/tex] e [tex](276)_9=(231)_{10}[/tex];
• na base 10, [tex]\boxed{360=129+231}[/tex];

então, temos que a base em questão é mesmo a 9.
Observe o esqueminha da soma na base 9:

Na base 10, poderíamos reescrever a informação dada pelo professor como:
       ► 360 alunos, dos quais 129 são meninos e 231 são meninas.

Observe que, se a base fosse 8, teríamos [tex](153)_8=(107)_{10}[/tex], [tex](276)_8=(190)_{10}[/tex] e [tex](440)_8=(288)_{10}[/tex]; mas, na base 10, [tex]\boxed{107+190=297}[/tex] e não [tex]288[/tex].
Só para complementar, veja o esqueminha da soma [tex]153+276[/tex] na base 8 e observe que [tex](451)_8=(297)_{10}[/tex]:

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.