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.Texto_015: Cubos perfeitos consecutivos

Cubos perfeitos consecutivos


Chamamos de cubo perfeito a todo número inteiro da forma n3, para algum nZ.
Assim, ao afirmarmos que um inteiro m é um cubo perfeito, isso significa que existe um número inteiro n tal que m=n3.

Rapidamente percebemos que os números naturais 0 e 1 são cubos perfeitos, pois 0=03 e 1=13, e são consecutivos.
Assim surge uma pergunta natural:

Existem outros naturais que sejam cubos perfeitos e consecutivos?

Vejamos…

Propriedade: Os únicos números naturais que são cubos e consecutivos são 0 e 1.

Justificativa: Seja x um número natural tal que x3+1 seja um cubo perfeito; assim, “x3 e x3+1 são cubos perfeitos e consecutivos”.
Como x3+1 é um cubo natural, então x3+1=z3 para algum zN e, com isso, temos que 3x3+1=3z3. Sendo z um número natural, consequentemente 3x3+1 é um número natural.
No entanto, x3+1>x3; assim 3x3+1>3x3=x e, portanto, existe um inteiro positivo a tal que 3x3+1=x+a. Dessa forma,
(x+a)3=x3+1. (*)
Porém,
(x+a)3=x3+3x2a+3xa2+a3, (**)
assim, de (*) e de (**), segue que
f044x3+3x2a+3xa2+a3=x3+1,
donde
3x2a+3xa2+a3=1.
Como x, a e 3 são números naturais, perceba que as três parcelas da soma 3x2a+3xa2+a3 são também números naturais; logo, estamos nos propondo a escrever o número 1 como soma de três números naturais. Mas, se A, B e C são números naturais tais que A+B+C=1, só temos três possibilidades:
A=B=0 e C=1,
A=C=0 e B=1,
B=C=0 e A=1,
então, no nosso caso, temos estas possibilidades:
(1) 3x2a=3xa2=0 e a3=1,
(2) 3x2a=a3=0 e 3xa2=1,
(3) 3xa2=a3=0 e 3x2a=1.
Por outro lado, note que a é um número natural não nulo; assim temos x0 e a>0, donde podemos concluir que
a31, 3x2a0 e 3xa20.
A desigualdade a31 aponta que as alternativas (2) e (3) não ocorrem, então necessariamente ocorre (1), ou seja, 3x2a=0, 3xa2=0 e a3=1.
De a3=1, segue que a=1.
De 3xa2=0 e de a=1, segue que 3x=0 e, assim, temos x=0.
Finalmente, x3=03=0 e (x+1)3=13=1 e assim concluímos que:

O único caso possível de números naturais consecutivos que sejam cubos perfeitos ocorre para 0 e 1.

Observe que 13=1, 03=0 e (1)3=1; logo, temos que:
1 e 0 são números inteiros consecutivos e cubos perfeitos;
0 e 1 são números inteiros consecutivos e cubos perfeitos.
Assim:
Será que esses são os únicos pares de inteiros consecutivos que são cubos perfeitos?
Mais ainda, 1, 0 e 1 é o único trio de inteiros consecutivos e cubos perfeitos?



Equipe COM – OBMEP

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