Cubos perfeitos consecutivos
Assim, ao afirmarmos que um inteiro m é um cubo perfeito, isso significa que existe um número inteiro n tal que m=n3.
Rapidamente percebemos que os números naturais 0 e 1 são cubos perfeitos, pois 0=03 e 1=13, e são consecutivos.
Assim surge uma pergunta natural:
Existem outros naturais que sejam cubos perfeitos e consecutivos?
Vejamos…
Justificativa: Seja x um número natural tal que x3+1 seja um cubo perfeito; assim, “x3 e x3+1 são cubos perfeitos e consecutivos”.
Como x3+1 é um cubo natural, então x3+1=z3 para algum z∈N e, com isso, temos que 3√x3+1=3√z3. Sendo z um número natural, consequentemente 3√x3+1 é um número natural.
No entanto, x3+1>x3; assim 3√x3+1>3√x3=x e, portanto, existe um inteiro positivo a tal que 3√x3+1=x+a. Dessa forma,
(x+a)3=x3+1. (*)
Porém,
(x+a)3=x3+3x2a+3xa2+a3, (**)
assim, de (*) e de (**), segue que
x3+3x2a+3xa2+a3=x3+1,
donde
3x2a+3xa2+a3=1.
Como x, a e 3 são números naturais, perceba que as três parcelas da soma 3x2a+3xa2+a3 são também números naturais; logo, estamos nos propondo a escrever o número 1 como soma de três números naturais. Mas, se A, B e C são números naturais tais que A+B+C=1, só temos três possibilidades:
➤ A=B=0 e C=1,
➤ A=C=0 e B=1,
➤ B=C=0 e A=1,
então, no nosso caso, temos estas possibilidades:
(1) 3x2a=3xa2=0 e a3=1,
(2) 3x2a=a3=0 e 3xa2=1,
(3) 3xa2=a3=0 e 3x2a=1.
Por outro lado, note que a é um número natural não nulo; assim temos x⩾0 e a>0, donde podemos concluir que
a3⩾1, 3x2a⩾0 e 3xa2⩾0.
A desigualdade a3⩾1 aponta que as alternativas (2) e (3) não ocorrem, então necessariamente ocorre (1), ou seja, 3x2a=0, 3xa2=0 e a3=1.
✓ De a3=1, segue que a=1.
✓ De 3xa2=0 e de a=1, segue que 3x=0 e, assim, temos x=0.
Finalmente, x3=03=0 e (x+1)3=13=1 e assim concluímos que:
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Observe que 13=1, 03=0 e (−1)3=−1; logo, temos que: |
Equipe COM – OBMEP