.Texto_015: Cubos perfeitos consecutivos

Justificativa: Seja $x$ um número natural tal que $\, x^3+1$ seja um cubo perfeito; assim, “$x^3 \,$ e $\, x^3+1$ são cubos perfeitos e consecutivos”.
Como $x^3+1$ é um cubo natural, então $x^3+1=z^3$ para algum $z \in \mathbb{N}$ e, com isso, temos que $\sqrt[3]{x^3+1}=\sqrt[3]{z^3}$. Sendo $z$ um número natural, consequentemente $\sqrt[3]{x^3+1}$ é um número natural.
No entanto, $x^3+1 \gt x^3$; assim $\sqrt[3]{ x^3+1} \gt \sqrt[3]{x^3}=x$ e, portanto, existe um inteiro positivo $a$ tal que $\sqrt[3]{ x^3+1}=x+a$. Dessa forma,
$\qquad (x+a)^3=x^3+1.\qquad \qquad$ (*)
Porém,
$\qquad (x+a)^3=x^3+3x^2a+3xa^2+a^3, \qquad \qquad$ (**)
assim, de (*) e de (**), segue que
$\qquad x^3+3x^2a+3xa^2+a^3=x^3+1,$
donde
$\qquad 3x^2a+3xa^2+a^3=1$.
Como $x$, $\, a$ e $\, 3$ são números naturais, perceba que as três parcelas da soma $3x^2a+3xa^2+a^3$ são também números naturais; logo, estamos nos propondo a escrever o número $1$ como soma de três números naturais. Mas, se $A$, $B$ e $C$ são números naturais tais que $A+B+C=1$, só temos três possibilidades:
➤ $A=B=0 \,$ e $\, C=1$,
➤ $A=C=0 \,$ e $\, B=1$,
➤ $B=C=0 \,$ e $\, A=1$,
então, no nosso caso, temos estas possibilidades:
(1) $3x^2a=3xa^2=0 \,$ e $\, a^3=1$,
(2) $3x^2a=a^3=0 \,$ e $\, 3xa^2=1$,
(3) $3xa^2=a^3=0 \,$ e $\, 3x^2a=1$.
Por outro lado, note que $\, a$ é um número natural não nulo; assim temos $x \geqslant 0$ e $a \gt 0$, donde podemos concluir que
$\qquad \boxed{a^3\geqslant 1}$, $\boxed{3x^2a\geqslant 0}$ e $\boxed{3xa^2\geqslant 0}$.
A desigualdade $a^3\geqslant 1$ aponta que as alternativas (2) e (3) não ocorrem, então necessariamente ocorre (1), ou seja, $3x^2a=0$, $3xa^2=0$ e $\, a^3=1$.
✓ De $a^3=1$, segue que $a=1$.
✓ De $3xa^2=0$ e de $a=1$, segue que $3x=0$ e, assim, temos $x=0$.
Finalmente, $x^3=0^3=0$ e $(x+1)^3=1^3=1$ e assim concluímos que: