.Problemão: Soma de Frações

Solução

Vamos resolver esse problema usando Somas Telescópicas!
Pois bem, veja que todos os fatores podem ser reescritos da forma:
$$
\large \dfrac{1}{n\cdot(n+1)}=\dfrac{1+n-n}{n\cdot (n+1)}=\dfrac{n+1}{n\cdot (n+1)}-\dfrac{n}{n\cdot (n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}.
$$ Essa informação que encontramos é extremamente valiosa, pois veja que:
$$
\large \dfrac{1}{10\cdot 11}+\dfrac{1}{11\cdot 12}+…+\dfrac{1}{14\cdot 15}= \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{12}+…+\dfrac{1}{14}-\dfrac{1}{15}.
$$ Uma vez que todas as frações, exceto as que estão nas “extremidades” da expressão, se anulam, ficamos apenas com:
$$
\large \dfrac{1}{10\cdot 11}+\dfrac{1}{11\cdot 12}+…+\dfrac{1}{14\cdot 15}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{30}.
$$

Solução elaborada pelo COM Phidias.