Segredos 6 e 7

Observe a tabela, a seguir.

Escrevendo as somas obtidas como potências de $2$, obtemos a próxima tabela, que ilustra a propriedade.

Como sabemos que linhas correspondentes nas duas representações do Triângulo de Pascal geram as mesmas sequências de números, podemos também visualizar esta propriedade usando a representação do Triângulo de Pascal na forma de um triângulo retângulo.

$\begin{array}{|l|l|} \hline \mbox{ Linha }\textcolor{red}{0} & 1=2^{ \textcolor{red}{0}}\\ \mbox{ Linha } \textcolor{red}{1} & 1+1=2^{ \textcolor{red}{1}} \\ \mbox{ Linha } \textcolor{red}{2} & 1+2+1=2^{ \textcolor{red}{2}} \\ \mbox{ Linha } \textcolor{red}{3} & 1+3+3+1=2^{ \textcolor{red}{3}} \\ \mbox{ Linha }\textcolor{red}{4} & 1+4+6+ 4+1=2^{\textcolor{red}{4}} \\ \mbox{ Linha } \textcolor{red}{5} & 1+5+10+10+ 5+1=2^{\textcolor{red}{5}} \\ \mbox{ Linha } \textcolor{red}{6} & 1+6+15+ 20 + 15+ 6+1=2^{\textcolor{red}{6}} \\ \mbox{ Linha } \textcolor{red}{7} & 1+7+ 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1=2^{\textcolor{red}{7}} \\ \mbox{ Linha } \textcolor{red}{8} & 1+8+28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 +1=2^{\textcolor{red}{8}} \\ \mbox{ Linha } \textcolor{red}{9} & 1+9 +36 + 84+ 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1=2^{\textcolor{red}{9}} \\ \mbox{ Linha } \textcolor{red}{10} & 1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=2^{\textcolor{red}{10}} \\ \hline \end{array}$

Essa propriedade nos garante que a soma das entradas de cada linha do Triângulo de Pascal é uma potência de $2$, cujo expoente corresponde à linha em questão.

Segredo 6: A soma dos elementos de cada Linha $n$ do Triângulo de Pascal é igual a $2^{n}$. (Este Segredo é conhecido como o Teorema das linhas do Triângulo de Pascal.)

Este é, de fato, um segredo bem escondido!
Apenas observando a tabela abaixo, é difícil de desvendá-lo….

Mas, para cada linha do Triângulo de Pascal, basta tomar as entradas como sendo “dígitos” de uma representação decimal, conforme ilustramos a seguir, que as tais potências de $11$ se revelam.

Equipe COM – OBMEP