Circunferências ex-inscritas
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Epa, o nome desta Sala não foi escrito erradamente? |
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Não, o nome é esse mesmo! Leia o texto abaixo. |
Existem três tipos de circunferências notáveis associadas a um dado triângulo ABC. Duas são mais conhecidas:
- A circunferência circunscrita ao triângulo ABC é aquela que passa pelos seus três vértices. O centro dessa circunferência é denominado circuncentro e esse ponto é a interseção das mediatrizes dos lados do triângulo.
- A circunferência inscrita ao triângulo ABC é aquela que está contida no interior desse triângulo e que é tangente aos seus três lados. O centro dessa circunferência é denominado incentro e esse ponto é a interseção das bissetrizes internas do triângulo.
Aqui nesta Sala, vamos falar um pouco sobre o terceiro tipo de circunferência associada a um triângulo: circunferências ex-inscritas.
As ex-inscritas
Assim, dado um triângulo ABC, existem três circunferências ex-inscritas a ele:
- uma tangente ao lado BC e aos prolongamentos dos lados AB e AC;
- uma tangente ao lado AB e aos prolongamentos dos lados CB e CA;
- uma tangente ao lado CA e aos prolongamentos dos lados BA e BC.
É usual denotar cada um dos três ex-incentros de um triângulo utilizando a notação do respectivo vértice oposto ao lado ao qual a circunferência é tangente como índice e associar as circunferências ex-inscritas a esses vértices.
É comum também associar as três circunferências ex-inscritas aos respectivos lados do triângulo aos quais elas são tangentes. Assim, com relação às circunferências da figura acima:
- "a circunferência ex-inscrita relativa ao vértice C" é também denominada "circunferência ex-inscrita ao lado AB";
- "a circunferência ex-inscrita relativa ao vértice A" é também denominada "circunferência ex-inscrita ao lado BC";
- "a circunferência ex-inscrita relativa ao vértice B" é também denominada "circunferência ex-inscrita ao lado CA".
(1) Uma propriedade importante e que ajuda a traçar as circunferências ex-inscritas a um dado triângulo garante que:
- Dado um triângulo ABC, o centro da circunferência ex-inscrita tangente ao lado BC e aos prolongamentos dos lados AB e AC é o ponto IA resultante da interseção da bissetriz interna relativa ao vértice A e das bissetrizes externas relativas aos vértices B e C.
Para as outras duas circunferências ex-inscritas ao triângulo ABC, os respectivos ex-incentros são definidos de forma análoga.
(2) A próxima propriedade não é uma característica exclusiva das circunferências ex-inscritas a um triângulo, mas ajuda a traçá-las:
- Os raios definidos pelo centro de uma circunferência ex-inscrita e seus três pontos de tangência formam ângulos retos com os respectivos lados intersectados do triângulo (ou com os seus prolongamentos).
(3) Seja ABC um triângulo cujos lados AB, BC e CA têm comprimentos c,a,b, respectivamente.
Se T1,T2,T3 são os pontos de tangência da circunferência inscrita ao triângulo ABC; T4,T5,T6 são os pontos de tangência da circunferência ex-inscrita relativa ao vértice A do triângulo ABC e p=a+b+c2 é o semiperímetro do triângulo ABC, então:
- Os comprimentos dos segmentos AT1 e AT3 são iguais a p−a.
- Os comprimentos dos segmentos BT1, BT2 e CT6 são iguais a p−b.
- Os comprimentos dos segmentos CT2, CT3 e BT5 são iguais a p−c.
Usando as propriedades (1) e (2), podemos particularmente traçar as circunferências ex-inscritas a um dado triângulo. Então, utilizem um applet para obter a circunferência ex-inscrita tangente ao lado BC de um dado triângulo ABC. É só clicar no botão abaixo e seguir as instruções.
Bom proveito, pessoal!
As ex-inscritas e as inscritas
Consideremos o triângulo ABC cujos lados AB, BC e CA têm comprimentos c,a,b, respectivamente.
Vamos supor que r é o raio da circunferência inscrita em ABC, ra é o raio da circunferência ex-inscrita ao lado BC e p=a+b+c2 é o semi perímetro de ABC.
A próxima figura ilustra propriedades gerais relativas a circunferências inscritas e ex-inscritas.
(4) O vértice A, o incentro I e o ex-incentro IA são colineares.
- Esta propriedade é uma decorrência direta da definição do ex-incentro IA, já que este é um ponto da bissetriz interna do vértice A.
(5) A área S do triângulo ABC é dada pelo produto p⋅r.
- Se [AIB], [BIC] e [CIA] indicam as áreas dos respectivos triângulos indicados em cada notação, observe que:
S=[AIB]+[BIC]+[CIA]S=c⋅r2+a⋅r2+b⋅r2S=c+b+a2⋅rS=p⋅r.
(6) A área S do triângulo ABC é dada pelo produto (p−a)⋅ra.
Se [AIAB], [AIAC] e [BIAC] indicam as áreas dos respectivos triângulos indicados em cada notação, observe que:
S=[AIAB]+[AIAC]−[BIAC]S=c⋅ra2+b⋅ra2−a⋅ra2S=c+b−a2⋅raS=c+b−a+a−a2⋅raS=(c+b+a2−2a2)⋅raS=(p−a)⋅ra.
De maneira análoga, obtemos as duas próximas propriedades.
(7) A área do triângulo ABC é dada pelo produto (p−b)⋅rb.
(8) A área do triângulo ABC é dada pelo produto (p−c)⋅rc.
(9) Relação entre os centros das circunferências inscrita e ex-inscritas:1ra+1rb+1rc=1r.
Pelas propriedade (5) , (6) , (7) e (8) temos que:
S=p⋅r=(p−a)⋅ra=(p−b)⋅rb=(p−c)⋅rc
assim, segue que:
1ra+1rb+1rc=p−aS+p−bS+p−cS=1S(p−a+p−b+p−c)=1S(3p−(a+b+c))=1S(3p−2p)=pS=1r
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Existem outras propriedades interessantes sobre triângulos e suas circunferências. |
Equipe COM – OBMEP
Julho de 2019.