Algumas Médias
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Apresentaremos aqui algumas Médias importantes e algumas desigualdades que as relacionam. Médias são ferramentas poderosas para a resolução de problemas de olimpíadas envolvendo desigualdades geométricas e cálculo de máximos e mínimos. |
I – As Médias
De maneira bem informal, uma média de uma lista de números reais é um valor que pode substituir todos os números dessa lista sem alterar determinada característica dela:
- se essa característica for a soma dos elementos da lista, utiliza-se a média aritmética;
- se essa característica for o produto dos elementos da lista, utiliza-se a média geométrica;
- se essa característica for a soma dos inversos dos elementos da lista, utiliza-se a média harmônica;
- se essa característica for a soma dos quadrados dos números da lista, utiliza-se a média dos quadrados.
► Média Aritmética – Denominamos Média Aritmética dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] ao número denotado por [tex]MA[/tex] e assim definido:
[tex]\boxed{MA=\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}}.[/tex]
A Média Aritmética preserva a soma dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De [tex] \, MA=\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}[/tex], segue que
[tex]\qquad\begin{align*} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1+a_2+a_3+\dots+a_n $}&= n \cdot MA\\
&= \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {MA+MA+MA+\cdots+MA}_{\text{n vezes}}$}\, .\end{align*} [/tex]
A Média Aritmética dos valores [tex]x_1, x_2, x_3, \dots, x_m[/tex] é habitualmente denotada por [tex]\overline{X}.[/tex] Assim, a Média Aritmética dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] fixados poderia ser, também, denotada por[tex]\overline{A}.[/tex]
► Média Geométrica – Denominamos Média Geométrica dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] ao número denotado por [tex]MG[/tex] e assim definido:
[tex]\boxed{MG=\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \, \dots \, \cdot a_n}}.[/tex]
A Média Geométrica preserva o produto dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De [tex] \, MG=\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \, \dots \, \cdot a_n}[/tex], temos que
[tex]\qquad\begin{align*} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3\cdot \, \dots \, \cdot a_n$}&= \left(MG\right)^n\\
&= \, \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {MG \cdot MG \cdot MG \cdot \, \cdots \, \cdot MG}_{\text{n vezes}}$}\, . \end{align*}[/tex]
► Média Harmônica – Denominamos Média Harmônica dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] ao número denotado por [tex]MH[/tex] e assim definido:
[tex]\boxed{MH=\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}} \, [/tex],
ou seja, é o inverso da Média Aritmética dos inversos dos valores.
A Média Harmônica preserva a soma dos inversos dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De [tex] \, MH=\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}[/tex], concluímos que
[tex]\qquad \begin{align*} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}$}&=\dfrac{n}{MH}\\
&= \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {\dfrac{1}{MH} + \dfrac{1}{MH} + \dfrac{1}{MH} + \, \cdots \, + \dfrac{1}{MH}
}_{\text{n vezes}}$}\, . \end{align*}[/tex]
► Média dos Quadrados – Denominamos Média dos Quadrados (ou média Quadrática) dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] ao número denotado por [tex]MQ[/tex] e assim definido:
[tex]\boxed{MQ=\sqrt{\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2}{n}}}.[/tex]
A Média dos Quadrados preserva a soma dos quadrados dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De [tex] \, MQ=\sqrt{\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2}{n}}[/tex], segue que
[tex]\quad \begin{align*} \, \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2$}&= n\left(MQ\right)^2\\
&= \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {\left(MQ\right)^2 + \left(MQ\right)^2 + \left(MQ\right)^2 + \, \cdots \, + \left(MQ\right)^2}_{\text{n vezes}}$} \, .\end{align*}[/tex]
II – Desigualdades importantes envolvendo essas Médias
(1) Desigualdade entre as médias Aritmética e Geométrica
[tex] \, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ Média\ Aritmética \geqslant Média\ Geométrica$}[/tex]
- Caso Geral: Considerando os números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex], tem-se que:
[tex]\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n}}.[/tex]
A igualdade só ocorre para [tex]a_1=a_2=a_3= \dots=a_n[/tex].
(02) Desigualdade entre as médias Geométrica e Harmônica
[tex] \, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ Média\ Geométrica \geqslant Média\ Harmônica$}[/tex]
Se [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] são números reais positivos, então
[tex]\boxed{\sqrt[n]{a_1a_2a_3 \dots a_n} \geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}},[/tex]
e a igualdade só ocorre para [tex]a_1=a_2=a_3= \dots=a_n[/tex].
(03) Desigualdade entre as médias Aritmética e Harmônica
[tex] \, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ Média\ Aritmética \geqslant Média\ Harmônica$}[/tex]
Se [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] são números reais positivos, então
[tex]\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}}.[/tex]
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Você encontrará a demonstração das desigualdades aqui apresentadas e várias aplicações, clicando AQUI! |
Equipe COM – OBMEP
Novembro de 2018.