.Sala de Estudos: A Função Exponencial – Sala Introdutória

Nesta Sala, faremos o estudo de um tipo de função muito importante cujas aplicações descrevem vários fenômenos como, por exemplo, crescimento de populações, meia-vida de substâncias químicas como remédios e materiais radioativos, comportamento do montante de uma aplicação financeira a juros compostos, depreciação do valor de um bem, entre muitos outros.

Se vocês precisarem dar uma relembrada no conceito de função, deem uma passadinha na Sala de Estudos Funções, uma visão geral.

Vamos iniciar nossa jornada com um assunto muito importante envolvendo a nossa saúde. A meia-vida de um medicamento corresponde ao período de tempo necessário para que uma quantidade desse medicamento no organismo de uma pessoa diminua para a metade do valor que havia no início do período. Esse decaimento da quantidade do medicamento deve-se principalmente às eliminações feitas pelo organismo e às reações químicas do medicamento com outras substâncias. A meia-vida é um parâmetro muito importante, por exemplo, para determinar o intervalo entre a ingestão de medicamentos, assim como a dosagem dos mesmos, entre outros. Deve-se observar que esse parâmetro apresenta variações dependendo das características do indivíduo. Em geral, ele é fornecido para uma pessoa adulta com saúde regular.

Com base no que foi exposto sobre meia-vida, determine uma fórmula que permita encontrar a quantidade [tex]Q(n)[/tex] de medicamento presente no organismo de uma pessoa, [tex]n[/tex] meias-vidas após a ingestão, sabendo-se que tal medicamento tem meia-vida de [tex]80[/tex] minutos e que a pessoa ingeriu uma cápsula contendo [tex]800[/tex] mg. Podemos usar essa fórmula para encontrar a quantidade de medicamento presente no organismo [tex]8[/tex] horas após a ingestão? E [tex]6[/tex] horas após a ingestão?

Primeiramente, vamos rever a definição de elevar um número real a um expoente natural.

Voltemos ao nosso problema envolvendo a meia-vida de um medicamento.

Esperamos que essa seção introdutória tenha servido para mostrar a importância de se fazer um estudo detalhado das funções exponenciais. Na próxima seção, faremos um breve estudo das potências com expoentes não naturais com a finalidade de melhor entender o significado de uma função exponencial.

Exponenciação

De um modo geral, para se estudar e usar as funções exponenciais devemos dar significado para expressões da forma [tex]a^x[/tex], com [tex]a[/tex] sendo um número real positivo e [tex]x[/tex] podendo ser qualquer número real. Vamos, sucessivamente, dar uma definição para expressões da forma [tex]a^x[/tex], [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] positivo e [tex]x[/tex] sendo primeiro um número racional positivo qualquer, depois um número irracional positivo qualquer e, por último, zero ou um número negativo qualquer. Para essa tarefa será necessário apresentar um pouco da teoria dos expoentes. Boa parte dessa teoria poderia ser feita para bases negativas também, mas nos concentraremos nas bases positivas, já que a função exponencial sempre tem base positiva.

A seguir, apresentamos algumas propriedades de potências com expoente natural, cujas demonstrações seguem essencialmente da Definição 1 e de algumas propriedades das operações com números reais. Vejam:

Agora vamos dar sentido para expressões da forma [tex]a^r,[/tex] com [tex]a\gt 0[/tex] real e [tex]r\gt 0[/tex] um número racional.

Existem várias razões que justificam a definição que vamos apresentar para potências com expoentes racionais. Uma destas razões é técnica: queremos que todas as propriedades operatórias (1) a (5), provadas para potências com expoentes naturais, continuem válidas para expoentes racionais. Isso tornará o uso das funções exponenciais prático. Mas a principal destas razões é que os fenômenos do mundo que podem ser modelados por funções envolvendo potências que fazem sentido para expoentes naturais parecem se comportar de forma a manter as propriedades operatórias para expoentes racionais. Teremos oportunidade de julgar essa última afirmação na seção envolvendo aplicações da função exponencial. Agora, vamos procurar definir potências com expoentes não naturais de forma a manter todas as propriedades operatórias.

Antes de continuarmos, é importante relembrarmos a definição de raiz [tex]n[/tex]-ésima aritmética de um número real positivo [tex]a[/tex].

O valor da potência [tex]a^r[/tex], com [tex]r[/tex] denotando o número racional positivo [tex]\dfrac{p}{q}[/tex], [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] números naturais, pode ser sugerido por meio da propriedade (5). Vejam que, para essa propriedade continuar válida para os expoentes racionais, deve ocorrer

[tex] \left(a^{\frac{p}{q}} \right)^q=a^{\frac{p}{q}\cdot q}=a^p.[/tex]

Assim, [tex]a^{\frac{p}{q}}[/tex] deve ser a raiz [tex]q[/tex]-ésima aritmética de [tex]a^p[/tex]:

Passamos agora a investigar como vamos definir potências com expoentes irracionais positivos. Lembremos que os números irracionais são os não racionais, ou seja, aqueles que não podem ser expressos como uma fração [tex]\dfrac{p}{q}[/tex], com [tex]p[/tex] e [tex]q\neq0[/tex] números inteiros. A representação decimal de um número irracional é infinita e não periódica. Por exemplo,

[tex]\sqrt{2}=1,41421356237…,[/tex]

continuando sem jamais se tornar uma dízima periódica. Na prática, nunca conhecemos perfeitamente um número irracional. Entretanto, podemos ter boas aproximações para o seu real valor aumentando mais e mais o número de casas na sua representação decimal. É exatamente essa idéia de aproximação de um número irracional por racionais (números com representação decimal finita sempre são racionais) que usaremos para definir potências com expoentes irracionais. Consideremos, por exemplo, [tex]3^{\sqrt{2}}[/tex]. Qual é o seu valor? Observe que os números

[tex] 1\lt 1,4 \lt 1,41 \lt 1,414 \lt 1,4142 \lt 1,41421 \lt 1,414213 \lt \dots \lt \sqrt{2} [/tex]

são aproximações por falta de [tex]\sqrt{2}[/tex] e, quanto mais casas decimais incluirmos, mais elas se aproximam do valor [tex]\sqrt{2}[/tex]. Observemos agora o que acontece com as potências de base [tex]3[/tex] com essas aproximações como expoentes:

[tex]
\begin{array}{c|c}
\hline
\text{Aproximações para} \sqrt{2} & 3^\text{Aproximações} \\
\hline
1 & 3^{1}=3 \\
\hline
1,4 & 3^{1,4}={\color{blue}4},6555367… \\
\hline
1,41 & 3^{1,41}={\color{blue}4,7}069650… \\
\hline
1,414 & 3^{1,414}={\color{blue}4,72}76950… \\
\hline
1,4142 & 3^{1,4142}={\color{blue}4,728}7339… \\
\hline
1,41421 & 3^{1,41421}={\color{blue}4,728}7858… \\
\hline
1,414213 & 3^{1,414213}={\color{blue}4,72880}14…\\
\hline
\end{array}
[/tex]

Veja que, à medida que as aproximações para [tex]\sqrt{2}[/tex] se tornam mais acuradas, as potências vão se aproximando de algum número que começa com [tex]4,72880[/tex]. De fato, pode ser mostrado que

[tex] 3^{\sqrt{2}}=4,7288043878…[/tex]

De modo geral, qualquer potência da forma [tex]a^v[/tex], com [tex]a\gt 0[/tex] e [tex]v[/tex] um número irracional positivo, pode ser calculada com o método ilustrado, com o grau de precisão que se desejar. Isso porque um conhecido fato sobre os números irracionais, por exemplo, [tex]v[/tex], é a existência de uma sequência infinita de números racionais, [tex]r_1, r_2, r_3, \dots[/tex], que se aproxima mais e mais de [tex]v[/tex], ou seja, que converge para [tex]v[/tex]. Existem infinitas maneiras de construirmos essa sequência, mas, considerando as aproximações que fizemos para [tex]\sqrt{2}[/tex], fica fácil obter uma sequência desse tipo para qualquer [tex]v[/tex] irracional positivo: basta definir [tex]r_n[/tex] como a aproximação de [tex]v[/tex] com [tex]n[/tex] casas decimais. Portanto, a potência de expoente [tex]v[/tex] pode ser assim definida:

No quadro acima, a diferença entre os sinais das desigualdades para as potências de [tex]a[/tex] provém do fato de a função exponencial [tex]f(x)=a^x[/tex] ser uma função crescente se [tex]a\gt 1[/tex] e uma função decrescente se [tex]0\lt a \lt1[/tex], como será explorado na Sala 1.

Por último, vamos calcular potências com expoentes zero ou números negativos. Como estamos admitindo a validade das propriedades operatórias, podemos fazer uso de (2) e observar que, para [tex]a\gt 0[/tex] real,

[tex] a^0=a^{1-1}=\dfrac{a^1}{a^1}=\dfrac{a}{a}=1.[/tex]

Dessa forma, definimos:

Para definir potências com expoentes negativos seguiremos os mesmos passos feitos no caso do expoente zero. Para [tex]a\gt 0[/tex] real e [tex]r[/tex] real positivo, a validade de (2) e a definição anterior exigem que tenhamos

[tex] a^{-r}=a^{0-r}=\dfrac{a^0}{a^r}=\dfrac{1}{a^r}.[/tex]

Assim, para continuar mantendo as propriedades operatórias, definimos:

Vejamos alguns exemplos da definição acima.

Finalizamos aqui nossa exposição de alguns elementos da teoria dos expoentes, ressaltando as seguintes propriedades:

Voltemos ao nosso problema inicial…

Queríamos calcular a quantidade do medicamento após [tex]4,5[/tex] meias-vidas. Apenas recapitulando: se tratava de uma ingestão inicial de [tex]800[/tex] mg de um medicamento com meia-vida igual [tex]80[/tex] minutos. Sabemos que, para valores naturais positivos,

[tex] Q(x)=800\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^{x}[/tex].

Assumindo que essa função exponencial também forneça os valores de [tex]Q(x)[/tex] para quantidades não naturais, podemos então calcular

[tex] Q(4,5)=800\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^{4,5}=800\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^{4} \cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}}=800\cdot \dfrac{1}{16}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{2}}=50\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=25 \cdot \sqrt{2}\approx 35,355.[/tex]

Com isso, concluímos que, passadas [tex]6[/tex] horas, restarão [tex]35,355[/tex] mg de medicamento no organismo.

Passemos agora ao argumento que prometemos na seção introdutória desta Sala de Estudos. Quão sensato é usar a função exponencial para calcular a quantidade de medicamento [tex]Q(x)[/tex] restante no organismo para valores não naturais de [tex]x[/tex], ou seja, não múltiplos da meia-vida? Veremos que isso é muito natural.

Vamos imaginar uma ingestão de apenas [tex]1[/tex] mg do medicamento. Vamos introduzir a função [tex]V:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+[/tex], que mede a quantidade do medicamento restante após [tex]x[/tex] meias-vidas para essa ingestão inicial de [tex]1[/tex] mg. Imagine agora a ingestão de [tex]K[/tex] mg do medicamento. Também vamos introduzir a função [tex]Q_K:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+[/tex] que mede a quantidade do medicamento restante após [tex]x[/tex] meias-vidas para essa ingestão de [tex]K[/tex] mg. Um pouco de reflexão convencerá de que, para todo número [tex]x[/tex] de meias-vidas, [tex]Q_K(x)=K\cdot V(x)[/tex]. Ou seja, se foi ingerida uma quantidade inicial [tex]K[/tex] vezes maior, após [tex]x[/tex] meias-vidas resta uma quantidade que será [tex]K[/tex] vezes a quantidade que restaria se fosse ingerido apenas [tex]1[/tex] mg. Consideramos o indivíduo que ingeriu [tex]K_1=800[/tex] mg do medicamento. Após [tex]4,5[/tex] meias-vidas, a quantidade de medicamento restante será:

[tex]Q_{K_1}(4,5)=800\cdot V(4,5)[/tex].

Imagine agora que se comece a contar o tempo do zero de novo. Então, nessa nova contagem do tempo, ele estará com uma quantidade inicial do medicamento de [tex]K_2=800\cdot V(4,5)[/tex]. Após mais [tex]4,5[/tex] meias-vidas, a quantidade de medicamento restante será:

[tex] Q_{K_2}(4,5)=K_2\cdot V(4,5)[/tex].

Observe que, na situação considerada, o fato de iniciar a contagem em outro momento não altera em nada os processos biológicos do indivíduo e, portanto, a quantidade de medicamento restante após dois períodos de tempo de [tex]4,5[/tex] meias-vidas deve ser igual à quantidade de medicamento resultante após um período de tempo de [tex]9[/tex] meias-vidas, ou seja,

[tex] K_2\cdot V(4,5)=800\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^{9}[/tex].

Lembrando que [tex]K_2=800\cdot V(4,5)[/tex], temos

[tex] 800\cdot V(4,5) \cdot V(4,5)=800\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^{9}[/tex].

Dividindo ambos os lados por [tex]800[/tex], encontramos

[tex] V(4,5) \cdot V(4,5)=\left(\dfrac{1}{2} \right)^{9}[/tex].

Isso mostra que

[tex]V(4,5)=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2} \right)^{9}}=\left(\dfrac{1}{2} \right)^{\frac{9}{2}}[/tex].

Lembre-se de que a função [tex]V[/tex] é para uma quantidade inicial de [tex]1[/tex] mg. Para [tex]800[/tex] mg, teremos

[tex]800\cdot V(4,5)=800\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^{\frac{9}{2}}=800\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^{4} \cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}}=800\cdot \dfrac{1}{16}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{2}}=50\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=25 \cdot \sqrt{2} \approx 35,355.[/tex]

É importante destacar que, dessa vez, o cálculo foi efetuado sem o uso da função exponencial para expoentes não naturais. A coincidência dos resultados serve como um forte argumento a favor da ideia de estender as funções exponenciais com expoentes naturais para expoentes reais, a fim de modelar fenômenos de maneira mais abrangente.

Equipe COM – OBMEP