Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em determinada caixa há [tex]4[/tex] bolas vermelhas, [tex]3[/tex] bolas azuis e [tex]2[/tex] bolas verdes. Pedro retira [tex]2[/tex] bolas da caixa, simultaneamente. Qual é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor?
Solução 1
O número de bolas na caixa é [tex]9[/tex]. Pode-se retirar [tex]2[/tex] bolas desta caixa de [tex]C_{9, 2} = \dfrac{9!}{2! \cdot 7!} = 36[/tex] maneiras; este é o número de casos possíveis. Para calcular o número de casos favoráveis, calculamos de quantas formas podemos retirar [tex]2[/tex] bolas vermelhas ou [tex]2[/tex] bolas azuis ou [tex]2[/tex] bolas verdes. Como são [tex]4[/tex] bolas vermelhas, é possível selecionar [tex]2[/tex] bolas vermelhas de [tex]C_{4, 2} = 6[/tex] maneiras. Como são [tex]3[/tex] bolas azuis, é possível selecionar [tex]2[/tex] bolas azuis de [tex]C_{3, 2} = 3[/tex] maneiras. E, como são [tex]2[/tex] bolas verdes, é possível selecionar [tex]2[/tex] bolas vermelhas de [tex]C_{2, 2} = 1[/tex] maneira. Assim, há [tex]6+3+1 = 10[/tex] maneiras de selecionar [tex]2[/tex] bolas da mesma cor; este é o número de casos favoráveis. Portanto, a probabilidade de selecionar duas bolas da mesma cor é [tex]\dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Dados do problema:
Bolas vermelhas: 4
Bolas azuis: 3
Bolas verdes: 2
Total de bolas: 9
Pedro retira 2 bolas simultaneamente.
Queremos saber a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor.
Total de combinações possíveis ao retirar 2 bolas de 9:
[tex]\text{Total de combinações} = \binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36[/tex]
Casos favoráveis (mesma cor):
a) Duas vermelhas:
[tex]\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6[/tex]
b) Duas azuis:
[tex]\binom{3}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3[/tex]
c) Duas verdes:
[tex]\binom{2}{2} = 1[/tex]
[tex]\text{Total de casos favoráveis} = 6 + 3 + 1 = 10[/tex]
Probabilidade: [tex]P(\text{mesma cor}) = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}[/tex].
Resposta final:
[tex]\boxed{\frac{5}{18}}[/tex]
Essa é a probabilidade de Pedro retirar duas bolas da mesma cor.
Solução elaborada pelo COM Os Matemágicos, com contribuições dos moderadores do Blog.