.Probleminha: Moedas de ouro

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

Um pirata encontrou um tesouro com $23$ moedas de ouro aparentemente idênticas. Sabe-se que $22$ destas moedas possuem o mesmo peso e apenas uma delas é mais leve que as outras.
Mostre que o pirata sempre pode descobrir a moeda falsa em apenas, no máximo, três pesagens com uma balança de equilíbrio de dois pratos.

Solução

$\textcolor{#800000}{(1)}$ Vamos, inicialmente, dividir o conjunto $M$ das moedas em três subconjuntos $M_1, M_2$ e $M_3$ contendo $9$ moedas, $9$ moedas e $5$ moedas, respectivamente.

$\textcolor{#800000}{(2)}$ Com uma pesagem, colocando em um dos pratos da balança as moedas de $M_1$ e no outro as de $M_2$, podemos descobrir se a moeda falsa se encontra em $M_1$, $M_2$ ou em $M_3$:

– Se o prato no qual estão as moedas $M_1$ abaixar, a moeda falsa está em $M_2.$
– Se o prato no qual estão as moedas $M_2$ abaixar, a moeda falsa está em $M_1.$
– Se os pratos ficarem em equilíbrio, a moeda falsa está em $M_3.$

$\textcolor{#800000}{(3.1)}$ Se a moeda falsa estiver em $M_1$ então podemos separar este conjunto de $9$ moedas em três subconjuntos $M_{11}, M_{12}$ e $M_{13}$ contendo três moedas cada um.

• Com uma segunda pesagem, colocando num dos pratos da balança as moedas de $M_{11}$ e no outro as de $M_{12}$, descobrimos em qual dos conjuntos $M_{11}, M_{12}$ e $M_{13}$, com $3$ moedas cada um, se encontra a falsa.
– Se o prato no qual estão as moedas $M_{11}$ abaixar, então a moeda falsa está em $M_{12}.$
– Se o prato no qual estão as moedas $M_{12}$ abaixar, a moeda falsa está em $M_{11}.$
– Se os pratos ficarem em equilíbrio, a moeda falsa está em $M_{13}.$
• Digamos que a moeda falsa se encontra em $M_{1x}$ ($x=1, \, 2 \text{ ou } 3$). Finalmente, com mais uma pesagem, colocando em cada prato da balança uma das moedas de $M_{1x}$, determinamos a moeda falsa.
– Se um dos pratos abaixar, a moeda falsa é a que está no prato que não abaixou.
– Se os pratos ficarem em equilíbrio, a moeda falsa é a aquela que não foi colocada nos pratos da balança.

$\textcolor{#800000}{(3.2)}$ Se a moeda falsa estiver em $M_2$, podemos proceder exatamente como no caso anterior.

$\textcolor{#800000}{(3.3)}$ Se a moeda falsa estiver em $M_3$, podemos usar $4$ moedas dos outros conjuntos e proceder exatamente como no $\textcolor{#800000}{\text{caso } 3.1}$.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.