.Probleminha: Um menor número natural

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

Qual o menor número natural que

dividido por 3 deixa resto 2,
dividido por 4 deixa resto 3,
dividido por 5 deixa resto 4,
dividido por6 deixa resto 5,
dividido por 7 deixa resto 6,
dividido por 8 deixa resto 7,
dividido por 9 deixa resto 8,
dividido por 10 deixa resto 9?

Solução 1

Se esse número fosse divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ele seria o MMC(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)=2520.
Porém, observe que a diferença entre o divisor e o resto em todas as divisões é 1, desse modo, o menor número natural que satisfaz a todas as condições do problema é 2520 – 1 = 2519.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2
(Indicada a partir do 8º ano do E. F.)

Seja x esse número; assim, podemos reescrever as hipóteses respectivamente como:

x = 3p + 2,
x = 4q + 3,
x = 5r + 4,
x = 6s + 5,
x = 7t + 6,
x = 8n + 7,
x = 9m + 8,
x = 10h + 9.

Dessa forma,

x + 1 = 3p + 3 = 3( p + 1 ),
x + 1 = 4q + 4 = 4( q + 1 ),
x + 1 = 5r + 5 = 5( r + 1 ),
x + 1 = 6s + 6 = 6( s + 1 ),
x + 1 = 7t + 7 = 7( t + 1 ),
x + 1 = 8n + 8 = 8( n + 1 ),
x + 1 = 9m + 9 = 9( m + 1 ),
x + 1 = 10h + 10 = 10( h + 1 ),

e, assim,

x + 1 = 3p₁, p₁ ∈ N,
x + 1 = 4q₁, q₁ ∈ N,
x + 1 = 5r₁, r₁ ∈ N,
x + 1 = 6s₁, s₁ ∈ N,
x + 1 = 7t₁, t₁ ∈ N,
x + 1 = 8n₁, n₁ ∈ N,
x + 1 = 9m₁, m₁ ∈ N,
x + 1 = 10h₁, h₁ ∈ N.

Podemos concluir, então, que x + 1 é simultaneamente múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Como queremos o menor valor de x + 1, então x + 1 é o mínimo múltiplo comum de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10).
Portanto,
x + 1 = MMC(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)=2520
e
x = 2519.