Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Unesp, 2008 – Adaptado) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de [tex]10[/tex] parsecs ([tex]1[/tex] parsec é aproximadamente [tex]3\cdot 10^{13}[/tex] km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo [tex]m[/tex] a magnitude aparente e [tex]M[/tex] a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre [tex]m[/tex] e [tex]M[/tex] é dada aproximadamente pela fórmula:
[tex]\qquad M=m+5\log_3 (3d^{-0,48}),[/tex]
onde [tex]d[/tex] é a distância da estrela em parsecs até o planeta Terra.
A estrela Rigel tem magnitude aparente aproximada de [tex]0,2[/tex] e magnitude absoluta de aproximadamente [tex]-6,8[/tex]. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra.
Lembretes
Para desenvolvermos a questão, é interessante relembramos algumas propriedades logarítmicas.
Para [tex]a,b,c[/tex] números reais positivos, com [tex]c\ne 1[/tex], temos:
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(i)} \, log_c(a\times b)=log_c a+log_c b [/tex];
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(ii)} \, n\times log_c(a)=log_c a^n [/tex].
Solução
Substituindo os dados do problema na fórmula dada, temos
[tex]\qquad M=m+5\log_3 (3d^{-0,48})[/tex]
[tex]\qquad -6,8=0,2+5\log_3 (3d^{-0,48})[/tex]
[tex]\qquad -7=5\log_3 (3d^{-0,48})[/tex]
[tex]\qquad -\dfrac{7}{5}=\log_3 (3d^{-0,48})[/tex]
[tex]\qquad -1,4=\log_3 (3d^{-0,48})[/tex]
[tex]\qquad -1,4=\log_3 3+\log_3 d^{-0,48}[/tex]
[tex]\qquad -1,4=1+(-0,48)\log_3 d[/tex]
[tex]\qquad -2,4=-0,48\log_3 d[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{-2,4}{-0,48}=\log_3 d[/tex]
[tex]\qquad 5=\log_3 d[/tex]
[tex]\qquad d=3^5[/tex]
[tex]\qquad d=243.[/tex]
Portanto, a distância da estrela Rigel ao planeta Terra é de [tex]243[/tex] parsecs, o que equivale a [tex]243\cdot (3\cdot 10^{13}) = 729\cdot 10^{13} = 7,29\cdot 10^{15}[/tex] km.
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